На канале Валерия Казакова разобрано решение задачи, данной под заголовком «Только для профи!». Описание её решения на олимпиаде могло бы вызвать трудности у школьника, а мы рассмотрим более простой способ решения. Итак, задача.
1. В четырёхугольнике ABCD соединили отрезками середины противоположных сторон, точку O пересечения этих отрезков соединили с вершинами четырёхугольника. Площади треугольников ABO и CDO равны 3 и 4 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
На канале показано замечательное решение с разрезанием четырёхугольника и применением двух поворотов и параллельного переноса. Однако убедительно описать доказательство школьнику будет трудно, даже если он «профи». Вот заключительный кадр решения, большая часть которого проведена устно:
Источник. Только для профи! | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/6715fee4cc0919197d5e3eb4
Разберём решение, обоснование которого не должно вызвать проблем у школьников, даже если они не «профи».
Решение. Обозначим середины сторон данного четырёхугольника M, N, K, L. Четырёхугольник MNKL является параллелограммом, так как его противоположные стороны, по теореме о средней линии треугольника, параллельны диагоналям данного четырёхугольника. Докажем, что сумма площадей треугольников MBO и KCO равна половине площади параллелограмма. Пусть MO = KO = a, а площади треугольников MBO и KCO равны x и y соответственно.
Высоты треугольников MBO и KCO, проведённые к основаниям длины a, равны 2x/a и 2y/a соответственно. Высота треугольника MNK, проведённая к основанию длины 2a, является средним арифметическим первых высот, она является средней линией трапеции с основаниями, равными первым высотам, и равна (x + y)/a. Тогда площадь треугольника MNK равна x + y. А площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABO и CDO.
Аналогично доказывается, что площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников BCO и ADO. Это означает, что сумма площадей треугольников ABO и CDO равна сумме площадей треугольников BCO и ADO и составляет половину площади четырёхугольника ABCD. Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна 2(3 + 4) =14.
Ответ. 14.