Александр Беспутин родился 26 апреля 1991 года в городе Каменск-Уральском (Свердловская область). Рано потерял отца, воспитывался матерью. Первым тренером по боксу стал Александр Николаев, друг погибшего отца. В возрасте 14 лет переехал в Красноярск, где продолжил подготовку под руководством заслуженного тренера России Юрия Спицына. Около 10 лет представлял Красноярский край в любительском боксе. В 2009 году завоевал первую значимую награду — бронзу чемпионата России в весе до 64 кг. Главный успех на национальном уровне пришел в 2012 году: Беспутин стал чемпионом России в весе до 69 кг. Участник чемпионата мира 2012 года (выбыл в четвертьфинале). В 2013 году одержал победу на чемпионате Европы в Минске, в финале победив Араика Марутяна. В 2015 году завоевал серебряную медаль на Европейских играх в Баку, уступив в финале Парвизу Багирову. Мастер спорта международного класса. Перешел в профессионалы в декабре 2015 года, подписав контракт с Top Rank. Дебютировал 12 декабря 2015 года побед