Разберём решение задачи конкурса «Кенгуру». Задача для 7-8-х классов.
Том и Гек красят забор. Если сначала Том будет красить один в течение часа, а потом Том и Гек будут красить вместе, то забор будет покрашен за 4 часа 20 минут. А если сначала Гек будет красить один в течение часа, а потом они будут красить вместе, то забор будет покрашен за 4 часа 40 минут. За какое время мальчики покрасят забор, если будут красить его вместе с самого начала?
Будем решать с помощью схем. Пусть сначала красит Том забор в течение часа, обозначим эту часть забора синим прямоугольником, а ту площадь, которую он закрасит для удобства как x условных единиц площади. Весь остальной забор, который мальчики будут красить вместе обозначим жёлтым прямоугольником. Найдём, сколько времени потратят Том и Гек, работая вместе: 4 ч 20 мин – 1 ч = 3 ч 20 мин (вычли тот час, когда Том работал один).
Если сначала будет работать Гек, то потом мальчики будут работать дольше (4 ч 40 мин по условию), что означает, что Гек за 1 час покрасит меньше, чем Том. Обозначим ту часть, которую покрасит Гек, с помощью зелёного прямоугольника. Найдем, сколько времени после этого мальчики будут работать вместе: 4 ч 40 мин – 1 ч = 3 ч 40 мин.
Получается, что есть общая часть, которую Том и Гек будут красить 3 ч 20 мин независимо от того, кто начнёт работу первым, и есть та часть забора (площадью x), которую Том покрасит за 1 час, но Гек эту часть не успеет покрасить за 1 час. Ту часть, которую Том покрасит за 1 час (площадью x), сначала покрасит Гек за 1 час, а потом они вдвоём закончат красить за 20 мин, так как 3 ч 40 мин – 3 ч 20 мин = 20 мин (см. рисунок).
За 20 минут совместной работы Том покрасит площадь, равную x/3 (ведь за час он красит всю площадь x). А оставшуюся площадь, равную 2x/3, Гек покрасит за 1 ч + 20 мин = 1 ч 20 мин = 80 мин.
Если за 20 мин Том красит площадь, равную x/3, то за 80 минут он покрасит площадь, равную 4x/3 (80 мин в 4 раза больше, чем 20 мин). Гек за 80 мин покрасит площадь, равную 2x/3. Значит, Гек красит забор в два раза медленнее. Это ключевой момент решения — мы сравнили сколько красят Том и Гек за одно и то же время и сравнили скорость работы.
Нам нужно найти, сколько кремени пройдет, если весь забор они будут красить вместе, то есть нам нужно найти, за какое время они покрасят площадь x (про ту часть забора, которую красят вместе за 3 ч 20 мин нам ничего узнавать не надо — они и так уже ее красят вместе).
Так как Том красит в два раза быстрее, то за одно и то же время Том покрасит площадь 2x/3, а Гек – x/3. (Это второй ключевой момент решения — если у одного скорость работы в два раза больше, то за одинаковый промежуток времени он покрасит больше, причем также в два раза.) Но площадь, равную 2x/3, Том покрасит за 40 минут, так как всю площадь x он красит за 1 час.
Значит, на весь забор мальчикам потребуется 40 мин + 3 ч 20 мин = 4 ч.
Ответ: 4 часа.