Рассказываем, как появились "+", "-", "x", "÷" и "="
Математика — одна из древнейших, если не самая древняя из существующих наук. Некоторые арифметические артефакты, по оценкам ученых, появились еще во времена палеолита, около 20–25 тыс. лет назад. Например, кость Ишанго, найденная в Заире, скорее всего, использовалась для счета, ведения бизнеса и учета запасов.
Первых реальных успехов в математике удалось добиться ученым древних Месопотамии и Египта. Это и шестидесятеричная система счета, возникшая одновременно с клинописью (а возможно, и раньше), которую до сих пор используют, чтобы измерять время, и десятичная (хоть и не позиционная) система записи чисел (ее использовали для хозяйственных, административных и архитектурных расчетов, в том числе при строительстве пирамид).
Что такое позиционная система записи чисел?
В позиционной системе одна и та же цифра меняет свое значение в зависимости от места при записи. Например, в числе 111 самая правая цифра означает единицу, единица посередине — десяток, а левая — сотню.
У древних египтян система была другой — у каждого знака было постоянное значение, которое сохранялось вне зависимости от его положения. Например, чтобы записать число 563, египтяне пять раз прописали бы знак "сто", шесть раз — "десять" и три раза — "один". Схожая система реализуется в римских числах.
Однако, несмотря на многолетнюю историю, математика тысячелетиями обходилась словами и сокращениями для записи — визуально вычислительные знаки стали оформляться только в период Позднего Средневековья и Нового времени.
"+" и "-"
По одной из версий, впервые "+" появляется в летописи "Вычисление пропорций" (Algorismus proportionum, XIV век) французского математика Николая Орема как сокращение от латинского союза et ("и") — в прошлом это был популярный способ записи "добавления". Однако утверждать, что именно Орем ввел символ в оборот, нельзя — эксперты не исключают, что в работы ученого его добавили позже при переписывании.
Первым, кто использовал "+" в печати, стал немецкий математик Иоганн Видман. В своей книге "Торговая арифметика" (Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft, 1489) он обозначал с его помощью избыток товара. Вероятнее всего, чтобы сэкономить время и сократить записи. Кстати, там же впервые появляется печатный знак "-", которым Видман обозначал недостачу товара.
Почему Видман выбрал черту для отрицания — неясно. С уверенностью можно сказать одно: до того, как привычный "-" появился в арифметических записях, вычитание обозначалось латинской буквой m, от слова minus (это сравнительная степень латинского прилагательного parvus, которое означает "малый"). И по одной из версий, "-" — упрощенный способ написания этой буквы (в Средневековье m писали с чертой сверху: "–").
Почему математические записи стали сокращать?
Конец XV века ознаменовался ростом морской торговли. Товарооборот увеличился, а вести бухучет от руки, постоянно фиксируя новые поставки, стало слишком утомительно — так словесные формулы начали преобразовываться в знаковые.
Постепенно знаки "+" и "-" закрепились в Германии — там их использовали в вычислениях начиная с XVI века, а оттуда они распространились по всей Европе и миру.
"="
Знак "=" изобрел британский врач и математик Роберт Рекорд — он использовал его в своей книге "Оселок остроумия" (The Whetstone of Witte, 1557).
Чтобы избежать утомительного повторения этих слов: "является равным" я буду рисовать, как часто делаю в рабочем обиходе, пару параллелей, или линий-близнецов одной длины, таким образом: =, ибо никакие две вещи не могут быть более равными
— Роберт Рекорд, "Оселок остроумия"
После этого знак "=" пропал из печати почти на 60 лет и вновь появился только в 1618 году, а потом — в 1631-м. Но до признания знаку было еще далеко — во второй половине XVII века на континенте большую популярность для записи равенства приобрело "ae". Этот символ придумал философ Рене Декарт — он использовал его в своей "Геометрии" (Geometrie, 1637), которая вышла как приложение к его труду "Рассуждение о разуме". "Геометрию" признали "гениальным произведением" — она была настольной книгой крупнейших математиков XVII века, которые подражали записям оттуда.
Исход "борьбы" определился только в начале XVIII века. Тогда на математическую "передовую" вышли Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц с работами по дифференциальному и интегральному анализу. В вычислениях они использовали знак Рекорда, что окончательно закрепило его статус в Европе, а позже — и во всем мире.
"x" и "·"
Считается, что знак "х" разработал английский математик Уильям Отред, у которого "была страсть к тому, чтобы делать записи визуально привлекательными". Его учебник по арифметике "Ключ к математике" (Clavis Mathematicae, 1631), в котором и появляется крест-умножение, быстро стал одним из самых популярных пособий в Англии. По нему учились величайшие умы того времени, в том числе химик Роберт Бойль, архитектор Кристофер Рен и Исаак Ньютон. В результате используемые в нем символы закрепились в математической традиции.
Исследователи предполагают, что "Андреевский крест" (так зачастую называют "x" в английской традиции) мог прийти на ум Отреду из математической практики, которая восходит еще к началу XIII века. Тогда было принято соединять линиями перемножаемые числа: иногда направляющие пересекались, образуя крест. Этот способ подробно разбирал, например, "отец современной бухгалтерии" Лука Пачоли (1445–1517) в книге "Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций" (Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, 1494). Похожие "маленькие кресты" можно найти и в других работах.
Но далеко не всем знак "x" пришелся по вкусу. В письме швейцарскому математику Иоганну Бернулли от 29 июля 1698 года ранее упомянутый Лейбниц писал: "Мне не нравится Х как символ для умножения, поскольку его легко перепутать с x (уже тогда "x" использовали для обозначения неизвестных переменных — прим. ТАСС)... Обычно я просто ставлю между двумя величинами точку".
И хотя точки в математических записях встречались и до Лейбница (например, в работах английского ученого Томаса Хэрриота (1560–1621), тогда знак вводился без объяснений, поэтому мог быть и простым типографским разделителем.
На родине Лейбница точка-умножение прижилась во многом благодаря его коллеге Христиану фон Вольфу (он преподавал у Ломоносова, когда тот учился в Германии). В XVIII веке Вольф был значимой фигурой в научных и философских кругах. Помимо прочего, он писал учебные пособия по математике для гимназий и университетов, в том числе на латыни (латинские работы были рассчитаны на то, чтобы ими могли пользоваться по всей Европе)1. В них он прямо фиксирует, что "знак умножения — это одна точка (.)". В немецком издании Вольф выражается еще жестче и пишет, что, хоть умножение может быть записано через "х", "этим знаком мы никогда пользоваться не будем".
Раньше "·" лежала
Когда умножение через точку только появилось, это был тот же знак, что ставят в конце предложения. Трансформация началась из-за десятичных дробей: в XVIII–XIX веках в Англии нижней точкой также разделяли части десятичных дробей. Чтобы убрать многозначность, в Британии десятичную точку "подняли" вверх (2·5), а точку-множитель оставили внизу. В континентальной Европе этой проблемы не было, так как там десятичные дроби писали через запятую (2,5).
Изменила свое положение точка-умножения из-за Америки — во второй половине XIX века там закрепилась традиция записывать десятичные дроби так: 2.5 (эта норма сохраняется до сих пор). В 1880-х потребность убрать двойное значение "точки" в математике стала особенно острой. В результате было принято решение "поднять" знак умножения. Постепенно традиция распространилась по всему миру, и сегодня именно "парящий" вариант закреплен в математических справочниках.
Сегодня в математике можно встретить оба знака: "х" хорошо подходит для элементарной арифметики (поэтому, например, его используют при записи таблицы умножения), а "·" — для сложных вычислений.
"÷", ":" и "/"
Знак "÷", или обелюс (лат. obelus — от греч. ὀβελός), придумал древнегреческий филолог и первый глава Александрийской библиотеки Зенодот Эфесский — им он помечал строки в поэме Гомера "Одиссея", которые считал ложными или сомнительными.
Изначально это была обыкновенная черта ("—")2, но уже в VII веке стали появляться варианты написания с одной ("―̇") и двумя ("÷") точками. Последний в том числе оставляли рядом с местами в Священном Писании, где использовали адаптивный перевод.
Обелюс, то есть горизонтальная черта, ставится рядом со словами или предложениями, повторенными без необходимости, либо возле мест, где какой-то отрывок помечен как ложный, так что он, подобно стреле, поражает лишнее и пронзает ложное; ведь "стрела" по-гречески — ὀβελός.
— Архиепископ Исидор Севильский
Таким образом, знак обелюс с древних времен обладал коннотацией, связанной с разделением истины и лжи.
Как знак деления "÷" впервые использовал швейцарский математик Иоганн Ран в своей книге "Немецкая алгебра" (Teutsche Algebra, 1659). В 1668 труд был переведен на английский и выпущен в Британии — так традиция использовать "÷" для деления перекочевала туда. В результате обелюс закрепился именно в англоязычном мире — в первую очередь в США, Великобритании и британских доминионах (ныне — страны Содружества).
А вот в остальной Европе, Латинской Америке и России победил знак ":". Впервые он появляется в печати в 1633 году в книге "Арифметика Джонсона". Там с его помощью записывали натуральные дроби (например, 3:4), а не действие-деление. В привычном нам значении знак ":" ввел Лейбниц в 1684 году, вероятно, по аналогии с точкой-умножением. "Следовательно, при обозначении соотношения я использую не одну точку, а две, которые я использую одновременно для деления", — писал он в 1698 году.
Далее история повторилась: современники Лейбница последовали примеру математика и стали использовать ":" в вычислениях.
И хотя сегодня "÷" и ":" продолжают использовать (последний — официально, как способ записи дробей) в современном международном стандарте закреплен знак деления "/"3.
Знак "/" тоже пришел в математику из пунктуации: он впервые фиксируется в средневековых французских и британских учебниках, где его использовали для того, чтобы обозначить место в тексте, где нужно сделать небольшую паузу (сейчас тот же смысл передает ",").
В начале XVIII века его стали использовать для записи дробей в одну строку, что позволило сократить натуральные "столбики". Естественным образом знак перенял значение деления.
Современные ученые отдали предпочтение именно "/" — черта позволяет сохранить "деление" на одной линии, а также четко обозначить границы числителя и знаменателя.
Мария Богрянова
Список источников:
- Davide Crippa THE CIRCULATION OF WOLFF’S ELEMENTS OF MATHEMATICS THROUGH ITS COMPENDIA (2026), DOI: 10.24425/asmdn.2025.158149.
- Francesca Schironi, Textual Scholarship in Alexandria — and Beyond (2024), DOI:10.13109/9783666500725.49.
- Quantities and units — Part 2: Mathematics (ISO 80000-2:2019, Corrected version 2021-11).