На канале Валерия Казакова разобраны два способа решения задачи, данной под заголовком «Три маленькие хордочки». Справедливости ради, отметим, что в условии задачи речь идёт об одной хорде, а в решении их уже больше. Итак, задача.
1. Даны три отрезка AH = 1, BH = 2, BC = 3, отрезки AH и BH, BH и BC попарно перпендикулярны. Точки A, B и C лежат на одной окружности. Найдите длину этой окружности.
На канале приведены два похожих способа решения задачи, к которым нет претензий. Вот заключительный кадр к первому решению, часть которого проведена устно:
Источник. Три маленькие хордочки | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/67136ec8702a103585b694ae
При других числовых данных можно действовать именно так. Но мы не будем отказываться от счастливого случая с числовыми данными.
Решение. Продолжим отрезок AH до пересечения с окружностью в точке D и проведём хорды AB и CD. Отрезки BC и AD перпендикулярны отрезку BH, следовательно, они параллельны. ABCD — трапеция, вписанная в окружность, она равнобедренная, так как параллельные хорды отсекают от окружности равные дуги, которым соответствуют равные хорды. В этой равнобедренной трапеции проекции равных боковых сторон на большее основание равны, то есть KD = AH = 1. Тогда HD = HK + KD = BC + KD = 3 + 1 = 4.
Продолжим отрезок BH до пересечения с окружностью в точке E. По теореме об отрезках пересекающихся хорд имеем:
AH ∙ HD = BH ∙ HE,
1 ∙ 4 = 2 ∙ HE,
HE = 2.
HE = BH, следовательно, AD — диаметр окружности, AD = 1 + 4 = 5, а длина окружности равна πd = 5π.
Ответ. 5π.
Мы точно обошлись без вычислений с радикалами, но только благодаря удачному набору числовых данных. Если бы вместо чисел 1, 2, 3 были другие числа, то наш способ тоже пригодился бы, но если окажется, что отрезки BH и HE не равны, то потребуется применение теоремы Пифагора для вычисления радиуса окружности.