Рассмотрим решение задачи на канале Валерия Казакова, данной под заголовком «Корейский ЕГЭ! Поступаем в Сеульский университет».
1. В прямоугольном треугольнике ABC проведены медиана BM к катету AC = 2 и биссектриса AK острого угла A. При этом оказалось, что точки A, B, M и K лежат на одной окружности. Найдите длину гипотенузы AB.
На канале приведено решение задачи с использованием теоремы об отрезках секущих, проведённых к окружности из одной точки, подобия треугольников, теоремы Пифагора, теоремы о свойстве биссектрисы угла треугольника и с решением квадратного уравнения. Заключительный кадр решения выглядит так:
Источник. Корейский ЕГЭ! Поступаем в Сеульский университет | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/6761008cec74cb370f78841e
А мы обойдёмся только первыми двумя теоретическими фактами и равенством треугольников.
Решение. Обозначим: CK = a, KB = b. Проведём перпендикуляр KN к гипотенузе AB треугольника. Треугольники ACK и ANK равны по гипотенузе и острому углу (гипотенуза общая, а углы при вершине A равны по условию), поэтому AN = 2, KN = CK = a.
Прямоугольные треугольники ABC и KBN подобны по двум углам (угол B у них общий). Составим пропорцию:
CB : BN = AC : KN,
(a + b) : BN = 2 : a,
откуда следует, что
a (a + b) = 2BN. (1)
По теореме об теоремы об отрезках секущих, проведённых к окружности из одной точки, имеем:
CB ∙ CK = AC ∙ CM,
a (a + b) = 2 ∙ 1 = 2. (2)
Из равенств (1) и (2) следует, что 2BN = 2, BN = 1.
Тогда AB = AN + BN = 2 + 1 = 3.
Ответ. 3.
Получилось немного короче. Подведём итог. Учащимся полезно показывать возможно больше различных решений одной задачи с предложением выбрать более простое решение. Это особенно важно делать при организации повторения материала перед экзаменами.