Числа разные, а ответ один и тот же? Да. И за это можно получить 2 балла.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Необходимая теория
Для решения задач нужно
- Знать и уметь применять теорему, согласно которой если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30 градусов.
- Знать и уметь применять такие свойства ромба как "диагонали точкой пересечения делятся пополам", "диагонали являются биссектрисами углов", "противоположные углы ромба равны", "сумма углов при стороне ромба равна 180 градусов".
Задача
Формулировка. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
Чертёж. Пусть ABCD - ромб с диагоналями AC и BD, которые пересекаются в точке О. OH - расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны AD, тогда OH = 19. Допустим, что диагональ BD = 76. Нужно найти ∠А, ∠В, ∠С, ∠D.
Алгоритм. Найдём OD как половину диагонали BD, затем в прямоугольном треугольнике ODH по теореме найдём угол HDО. Затем, используя свойства ромба, вычислим весь угол D, а затем уже все остальные.
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам => OD = BD : 2 = 76 : 2 = 38.
Треугольник ODH прямоугольный, т.к. OH - расстояние, т.е. перпендикуляр. Тогда в этом треугольнике известна гипотенуза OD = 38 и катет OH = 19. Катет равен половине гипотенузы, значит он лежит против угла в 30 градусов => ∠HDO = 30°.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов => ВD - биссектриса угла D, тогда ∠HDO = ∠СDO = 30°, следовательно, ∠D = ∠HDO + ∠CDO = 30° + 30° = 60°. Противоположные углы ромба равны => ∠D = ∠B = 60°.
Сумма углов при стороне ромба 180° => ∠С + ∠D = 180°, отсюда ∠C = 180° - ∠D = 180° - 60° = 120°. Противоположные углы ромба равны => ∠С = ∠А = 120°.
Ответ: ∠B = ∠D = 60°, ∠A = ∠C = 120°.
✅ Самопроверка с ответами
Задача 1. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.
Ответ: ∠B = ∠D = 60°, ∠A = ∠C = 120°
По сути, ответ в таком типе задач всегда один и тот же. Главное - верно расписать решение.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Насколько эта задача показалась сложной?
✅ Самое надёжное — не зубрёжка, а понимание.
📌 Дальше — постепенный разбор задач задания 23:
👉 Подборка всех задач задания 23 - здесь.
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.