На канале Валерия Волкова было разобрано решение задачи под заголовком «Найдите сторону треугольника».
1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4, острый угол 54°. Найдите длину катета, противолежащего данному углу.
Источник. Найдите сторону треугольник. | Математика. Валерий Волков | Дзен https://dzen.ru/video/watch/61897d0bba5f6321d3ceb1e7
На канале приведено тригонометрическое решение задачи, вот заключительный кадр решения.
В условии задачи следовало добавить: "Ответ выразите в радикалах", так как читатели видят ответ в первом равенстве приведённого решения. При всей нашей любви к тригонометрии отметим, что это задача не про тригонометрию, а про особое свойство равнобедренного треугольника с углом при вершине 36°.
У этого треугольника углы при основании содержат по 72°, а биссектриса угла при основании отсекает от него треугольник подобный данному. Другой отсечённый треугольник оказывается равнобедренным, что позволяет вычислить синус или косинус углов 36° или 54° в радикалах (это были конкурсные задачи устного экзамена прошлых лет).
Темы свойства равнобедренного треугольника с углом при вершине 36° мы коснулись в статье
Вокруг задачи из школьного учебника https://www.shevkin.ru/wp-content/uploads/2017/03/Vokrug-zadachi-iz-uchebnika-geometrii-3.doc
В ней есть выражение синуса 54° в радикалах, с помощью которого быстро получается ответ в обсуждаемой задаче.
Рассмотрим теперь решение задачи с использованием описанной выше идеи.
Решение. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АB = 4 угол B содержит 54°, тогда угол A содержит 90° – 54° = 36°.
На продолжении отрезка AC за точку C отметим точку D так, чтобы AD = AB = 4 и соединим отрезком точки B и D.
В равнобедренном треугольнике ADB угол D содержит (180° – 36°) : 2 = 72°.
Проведём биссектрису DE угла ADB. Треугольник ADE равнобедренный, так как в нём углы A и D равны 36°. В треугольнике DBE углы B и E равны, они содержат по 72°. Треугольники ABD и DBE подобны по двум углам.
Введём обозначения: AE = DE = DB = a, BE = 4 – a и составим пропорцию:
BE : BD = BD : AB,
(4 – a) : a = a : 4,