Для решения задачи о наполнении бассейна несколькими трубами с разной скоростью потока необходимо использовать метод суммирования производительности. Если первая труба наполняет бассейн за t₁ часов, а вторая за t₂, то вместе за один час они наполнят 1/t₁ + 1/t₂ часть объема. Итоговое время рассчитывается как единица, деленная на общую производительность. Ошибка большинства заключается в попытке найти среднее арифметическое времени, что физически неверно.
Прислушайтесь сейчас к шуму воды из крана. Неспешно. Гулкий, ровный поток. Струя кажется неподвижной, как стеклянный стержень. Но поднесите палец - и вода с веселым шумом разлетится мириадами капель.
Задачи про трубы и бассейн наводят ужас на школьников уже добрую сотню лет. Кажется, что это сухая и скучная арифметика. Но Яков Перельман превращал такие задачи в детективное расследование скоростей. Сегодня мы разберем «высший пилотаж» этой темы: что будет, если труб не две, а три, и одна из них не наливает, а предательски сливает воду?
Остановитесь на полминуты. Не листайте. Попробуйте прикинуть в уме: если одна труба льет воду 2 часа, а вторая - 3 часа, наполнится ли бассейн быстрее, чем за один час?
Ловушка среднего времени
Главная ошибка, которую любил разоблачать Перельман: попытка сложить время.
«Одна труба - 2 часа, другая - 3 часа. Значит, среднее - 2,5 часа!» - говорит неопытный ум. Вздор. Честно говоря, это нелепость. Если мы открываем вторую трубу, воды становится больше, значит, время должно сократиться, а не стать «средним».
Мы должны считать не часы, а «силу» каждой трубы - её производительность.
Первая труба дает полбассейна в час (1/2).
Вторая труба дает треть бассейна в час (1/3).
Вместе за один час они нальют: 1/2 + 1/3 = 5/6 объема.
Почти целый бассейн за один час! Степенно. Торжественно. Без суеты.
Когда появляется «враг»
А теперь усложним жизнь нашему аристократу. Представьте, что внизу бассейна открыт слив, через который вся вода уходит за 6 часов. Теперь у нас две трубы созидают, а одна - разрушает.
Производительность созидателей: 5/6.
Урон от слива: 1/6.
Итоговая скорость наполнения: 5/6 - 1/6 = 4/6 (или 2/3) бассейна в час.
Значит, на полный бассейн нам потребуется ровно полтора часа.
Перельман в своё время писал, что математика - это лучший способ усмирить хаос. Зная три цифры, Вы становитесь властелином потока. Допущение грубоватое, но для тренировки мозга - в самый раз.
«А вы знали?»: Кто первым придумал эти задачи?
Подобные головоломки решали еще в Древней Греции и Китае тысячи лет назад. Для древних инженеров это не было забавой - они рассчитывали подачу воды в города через акведуки. Ошибка в расчетах могла оставить целый город без питья или затопить термы императора. В 1913 году Перельман вернул этой «инженерной магии» популярность, сделав её частью домашнего образования.
Что далее
Завтра мы забудем про расчеты и посмотрим на воду под микроскопом. Почему маленькое насекомое - водомерка - может бегать по воде, не проваливаясь, словно по катку? Резонанс или магия? Разберем секрет невидимой кожи воды.
Подпишись. Чтобы видеть мир в цифрах. А Вы любите такие задачи или со школы их боитесь? Напишите, какой ответ у Вас получился в первом примере про две трубы!
Читайте также:
Канал «А вы знали?» - задачи, фокусы и наука. Каждый день - повод удивиться.