Задание №14 в ОГЭ по математике — это арифметическая прогрессия. Вам дают несколько чисел или формулу n-го члена, нужно найти сумму, разность или конкретный член. Казалось бы, ничего сложного. Но именно здесь даже хорошисты теряют баллы. Почему? Потому что путают формулы, неправильно находят разность и ошибаются в знаках.
Разберем все типы задач, которые реально встречались в 2025 году, и на их основе спрогнозируем, что ждать в 2026-м.
Что такое арифметическая прогрессия?
Это последовательность чисел, где каждое следующее получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Это число называется разностью прогрессии (d).
Формула n-го члена: a_n = a_1 + (n — 1) * d, где a_1 это первый член арифметической прогрессии, а a_n Nый член прогрессии.
Формула суммы первых n членов: S_n = (a_1 + a_n) * n / 2.
Или второй вариант: S_n = (2a_1 + (n — 1)d) * n / 2.
Какие типы задач встречались в 2025 году?
Анализ реальных КИМов ОГЭ 2025 показывает, что в задании №14 были следующие варианты:
Тип 1. Найти разность прогрессии по двум членам.
Дано: a_7 = 25, a_9 = 31. Найти d.
Решение: за два шага (с 7-го по 9-й) прогрессия выросла на 31 — 25 = 6. Шага два, значит d = 6 / 2 = 3.
Тип 2. Найти первый член по формуле.
Дана формула a_n = 4n — 7. Найти a_1.
Решение: подставляем n = 1: a_1 = 4*1 — 7 = -3.
Тип 3. Найти сумму первых n членов.
Дано: a_1 = 5, d = 3, n = 10. Найти S_10.
Решение: сначала a_10 = 5 + 93 = 5 + 27 = 32. Потом S_10 = (5 + 32)10 / 2 = 37*5 = 185.
Тип 4. Найти номер члена с заданным значением.
Дано: a_n = 3n — 4. Найти, под каким номером стоит число 50.
Решение: 3n — 4 = 50 → 3n = 54 → n = 18.
Тип 5. Задача с условием на словах.
«Амфитеатр состоит из 12 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест?»
Это типичная арифметическая прогрессия: a_1 = 15, d = 3, n = 12. Нужно найти S_12.
Что ждать в 2026 году?
На основе анализа банка ФИПИ и вариантов 2025 года, в 2026-м, скорее всего, останутся те же типы задач. Составители редко меняют формат номера 14.
Прогноз на 2026:
· Задачи на нахождение d по двум членам (останутся).
· Задачи на подстановку n в формулу (обязательно будут).
· Задачи на сумму (самый частотный тип).
· Текстовые задачи-кейсы (про ряды мест, про километры при аварийном торможении — такое тоже попадалось).
Нового ждать не стоит. Скорее всего, будут просто другие числа, но механика останется прежней.
Главные ошибки
Ошибка 1. Путают формулу суммы.
Две формулы похожи, но использовать нужно ту, у которой есть все данные. Если известны a_1 и a_n — берите S_n = (a_1 + a_n)*n/2. Если известны a_1 и d — берите второй вариант.
Лайфхак: запишите обе формулы на полях черновика перед экзаменом.
Ошибка 2. Неправильно находят количество членов.
Если даны a_3 и a_7, между ними не 4 шага, а 7 — 3 = 4 шага. Шагов на один меньше, чем разница индексов? Нет, количество шагов равно разности индексов. Проверяйте.
Ошибка 3. Забывают про отрицательную разность.
Прогрессия может убывать. Тогда d будет отрицательным. При подстановке в формулы это нужно учитывать.
Лайфхаки для быстрого решения
Лайфхак 1. Для нахождения d используйте формулу d = (a_m — a_k) / (m — k).
Это универсальный способ. Не нужно выписывать всю последовательность.
Лайфхак 2. Сумму считайте парами.
Если нужно сложить длинный ряд чисел, сгруппируйте первый с последним, второй с предпоследним. Сумма каждой пары будет одинаковой. Это и есть логика формулы суммы.
Лайфхак 3. Проверяйте себя на малых числах.
Если сомневаетесь в формуле, подставьте простую прогрессию (1, 2, 3, 4) и посмотрите, что получается. Если формула выдаёт правильную сумму для этого случая — она верна.
Пошаговый алгоритм для номера 14
Шаг 1. Выпишите, что дано: a_1, d, n или a_n.
Шаг 2. Запишите нужную формулу.
Шаг 3. Подставьте числа.
Шаг 4. Выполните вычисления по шагам на черновике.
Шаг 5. Проверьте знак (особенно если d отрицательное).
Шаг 6. Запишите ответ в бланк.
Пример разбора (текстовая задача)
Условие: В первом ряду кинозала 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше. Сколько мест в первых 15 рядах?
Решение:
1. a_1 = 18, d = 2, n = 15.
2. a_15 = 18 + 14*2 = 18 + 28 = 46.
3. S_15 = (18 + 46) * 15 / 2 = 64 * 15 / 2 = 960 / 2 = 480.
Ответ: 480.
Заключение
Номер 14 — это задание на знание двух формул и умение их применять. В 2026 году, скорее всего, ничего не изменится по сравнению с 2025-м. Нарешайте 10–15 вариантов из открытого банка ФИПИ, выучите формулы a_n и S_n — и вы будете щёлкать этот номер за минуту. Удачи на экзамене!