Дорогой дневник!
а я с отчётом про то, как мы со студентами опять вешали котиков, опять удачно.
Хочу для себя и вселенной записать рецепт этого мастер-класса. Пусть будет.
Начинаем с того, что
обучаем группу студентов базовым приёмам интегрирования и показываем двойной интеграл. Хотя бы издалека. Это на мат.анализе.
Попутно или чуть ранее показываем, как составить уравнение прямой через две точки (это на алгебре).
Собрав подготовленный контингент, вываливаем на них (него?) формулы для вычисления центра масс однородной пластины. Смотрим, как пытаются удрать.
Роль однородной пластины исполняет вырезанный из картона котик.
План, комплектация и пр.
Ингредиенты
- студенты первого курса (прошли матан чуть-чуть и алгебру)
- картон, ножницы, линейки, карандаши и листочки в клетку
- конфеты - как кОтОлизатор волшебства.
Цель: провести весело время и попутно найти центр масс картонного котика. Примечание: планируем найти только абсциссу, но если контингент могуч, то можно успеть и ординату. Более того, если контингент невероятно могуч и вдобавок игрив, то ещё и хвосты котикам можно приделать.
Что надо сделать в процессе (по действиям):
- "оцифровать" картонного котика (ввести координаты котоугольника);
- найти площадь фигурки кота (тут можно и без интегралов);
- описАть котейку прямыми;
- вычислить момент инерции (тот самый страшный двойной интеграл);
- в процессе вычисления тссди можно выдать шпаргалку (см. ниже);
- разделить тссди на площадь - это и есть координата центра масс.
- сделать дырочку где-то по линии найденной абсциссы более-менее вверху и продеть верёвочку. Проверить правильность пристальным взглядом (ну если всё верно, то висит ровно).
- По факту выполнения пунктов 2, 3, 4 выдавать конфеты =)
По факту пункта 7 - открыть дверь и отпустить домой.
Начинаем работать
- обводим фигурку на листочке
- вводим систему координат
- отмечаем координаты точек - вершин котоугольника (у нас их 4 не считая начала координат)
- составляем уравнения описывающих котика прямых (их у нас три важных АВ, ВС и СД, есть ещё у=0, х=0 и х=х_Д )
Наблюдаем, как клиенты грустнеют с каждым новым уравнением.
Ничё-ничё. Будущие инженеры или где?
Важно:
- полагаем все прямые, которые выглядят вертикальными или горизонтальными именно такими, т.е. не заморачиваемся с миллиметрами разницы в координатах;
- если какую-то точку хочется подвинуть на пару миллиметров вправо или влево, то так и делаем - берём ножницы и купируем котику ушки ну или что получится.
Теперь давайте посчитаем площадь
Это просто, это чтобы немножко выдохнуть. Потом же ещё интегралы считать.
Для площади тушку котика пилим на треугольники и прямоугольники.
Ну может на трапеции.
В карусельке выше есть распил, идите смотрите.
С энтузиазмом предлагаем вычислить двойной интеграл
Подвох в том, что интеграл распадается на три (а если в форму кота заложить хвост, то будет ещё больше).
На первом интеграле ещё полёт нормальный, а вот второй идёт с треском. Уж очень проти-и-и-вненькие коэффициенты.
Тут я вам предлагаю сделать шпаргалку о том, как считать момент инерции (а именно так называется интеграл от х) в случае, если граница области прямая.
Можно предложить это сделать студентам.
Базовый вариант можно дополнить
К котейке можно приделать хвост. Но чтобы не вычислять долго и муторно заново и через интегралы, хвост простой формы можно добавить к уже имеющейся тушке и найти новый центр масс, как среднее взвешенное кота и хвоста.
Если в группе есть сильно шустрый мегамозг, который на интегралах заскучает, а не испугается, то добавьте хвост в виде арксинуса =)
Важные напутствия
- веселье занимает примерно два астрономических часа;
- можно адаптировать для школьников и убрать интегралы - в этом случае фигуру разбиваем на треугольники и центр масс ищем через пересечение медиан (подробнее в другой моей статье);
- запаситесь фломастерами для тех, кто пришел на мастер-класс случайно, сидит и грустит. Пусть раскрашивают =)
#СибГУТИ
#математикадляхомяков