В общепринятом объяснении слово «кучер» связывают с названием первого почтового экипажа, который [якобы] «был создан в Венгрии в местечке Коте (название этого городка, «претерпев ряд изменений в разных языках», [якобы] попало в Россию в виде слова "кучер")»: http://myzooplanet.ru/loshadey-istoriya/proishojdenie-slova-yamschik-sih-por.html
С венгерским же словом kосsi — «дорожный экипаж» — связывают и coach [коуч] (англ.), cocchino (ит.) – дорожный экипаж; coche [коче] (совр. амер. исп.) — автомобиль: https://www.etymonline.com/word/coach
------
Ср., однако, с coach [коуч] (совр. амер. англ.) — тренер, ведущий (тот, кто ведет, направляет);
Ср. кица- (саам.) — тянуть: https://ru.wikipedia.org/wiki/Кица_(приток_Колы) — она же гомеровский Коцит, одна из 5 рек царства Аида: https://new-etymology.livejournal.com/1475475.html
Ср. коч, кочь, коча, кача, кочма́ра, кочерма, кочьман — поморское (русское, норвежское) парусно-гребное промысловое судно, приспособленное для плавания во льдах.
Ср. күчү (тат.) — передвигаться, передвинуться; перемещаться; в разн. зн. переходить, перейти; переезжать, переехать, переселиться, перебраться; кочевать, перекочевать; күчүче (тат.) — переселенец;
күчмә (тат.) — движущийся, переходящий; кочевой; перелётный (птицы); тех. подвижный (блок); передвижной (театр); юр. движимый (имущество); переносный;
көше, көшеci, köşe, köşesi (каз.), ko'cha (узб.), köçe (туркмен.), küçə (азер.) - улица;
köč (уйг., чагат.) — поездка, путешествие, переселение; köć(mäk) (кирг., уйг., чагат., тел., алт., леб., тар., караим.) — кочевать;
кочевать, кочевник;
күчерү (тат.) — переставлять, передвинуть; перемещать, переместить; в разн. зн. переводить, перевести; переносить, перетащить (грузы); переселять, переселить; перебрасывать, перевести (людей).
------
З.Ы. Если КОЧЕРГА и КОЧЕГАР связаны не с огнем и очагом, а просто с действием "передвинуть" (угли), а КУЧЕР — с "передвижением" (людей/грузов), то все три — из татарского языка, а в русском ближайший родственник — глагол КОЧЕВАТЬ.
И американо-испанский КОЧЕ (COCHE) «автомобиль» не с венгерскими, а татарскими корнями.