Задание 23 — вторая часть, которая пугает многих. Но высоту в прямоугольном треугольнике можно найти двумя простыми способами. Разберём их на двух задачах. Поехали!
P.S. Все задачи подобраны из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Необходимая теория
Для решения задач нужно:
- Знать и уметь применять теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике.
- Знать две формулы площади прямоугольного треугольника: как половину произведения катетов и как половину произведения стороны на проведенную к ней высоту.
- Знать признаки подобия треугольников, уметь доказывать по ним подобие треугольников и записывать пропорциональность сторон.
- Вычислять неизвестные значения в пропорции.
Задача 1
Формулировка. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 51. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Чертёж. Обозначения не даны, поэтому введём их самостоятельно. Пусть существует треугольнике АВС с прямым углом С, в котором AB = 51, AC = 24, СН - высота, проведенная к гипотенузе AB.
Способ 1: через площадь
Алгоритм. Найдём второй катет, выразим площадь треугольника двумя способами (через катеты и через высоту и сторону), подставим известные значения во второе выражение площади и вычислим высоту.
Найдём второй катет треугольника ABC по теореме Пифагора: BC² = AB² - AC² = 51² - 24² = 2601 - 576 = 2025. Отсюда BC = √2025 = 45.
Теперь выразим площадь треугольника АВС двумя способами.
Площадь равна половине произведения катетов: S = 45 · 24 : 2 = 45 · 12 = 540.
Площадь равна половине произведения стороны на высоту: S = AB · CH : 2.
Подставим известные значения: 540 = 51СН : 2.
Умножим выражение на 2: 1080 = 51СН.
Отсюда CH = 1080 : 51. Нацело не делится, поэтому выделим целую часть - это 21, а затем дробную 9/51.
Ответ: высота равна 21 9/51.
Способ 2: через подобие треугольников
Алгоритм. Найдём второй катет, докажем подобие треугольников ABC и ACH, запишем пропорциональность сторон и из неё выразим CH.
Второй катет BC = 45 (нашли в способе 1).
Треугольники ABC и ACH подобны по двум углам (∠C = ∠CHA (∠С прямой по условию, ∠CHA прямой, т.к. CH - высота), ∠A - общий).
Запишем пропорциональность сторон: AB : AC (стороны против прямых углов) = CB : CH (против угла А).
Подставим известные величины в пропорцию: 51 : 24 = 45 : CH.
Тогда 51CH = 24 · 45 => 51CH = 1080. Отсюда CH = 1080 : 51. Аналогично способу 1 выражаем целую часть и записываем ответ.
Ответ: высота равна 21 9/51.
Задача 2
Формулировка. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Чертёж. Обозначения не даны, поэтому введём их самостоятельно. Пусть существует треугольнике АВС с прямым углом С, в котором BC = 18, AC = 24, СН - высота, проведенная к гипотенузе AB.
Способ 1: через площадь
Алгоритм. Найдём гипотенузу, выразим площадь треугольника двумя способами (через катеты и через высоту и сторону), подставим известные значения во второе выражение площади и вычислим высоту.
Найдём гипотенузу треугольника ABC по теореме Пифагора: AB² = AC² + BC² = 18² + 24² = 324 + 576 = 900. Отсюда AB = √900 = 30.
Теперь выразим площадь треугольника АВС двумя способами.
Площадь равна половине произведения катетов: S = 18 · 24 : 2 = 18 · 12 = 216.
Площадь равна половине произведения стороны на высоту: S = AB · CH : 2.
Подставим известные значения: 216 = 30CН : 2.
Умножим выражение на 2: 432 = 30CН.
Отсюда CH = 432 : 30. = 14,4.
Ответ: высота равна 14,4.
Способ 2: через подобие треугольников
Алгоритм. Найдём гипотенузу, докажем подобие треугольников ABC и ACH, запишем пропорциональность сторон и из неё выразим CH.
Гипотенуза AB = 30 (нашли в способе 1).
Треугольники ABC и ACH подобны по двум углам (∠C = ∠CHA (∠С прямой по условию, ∠CHA прямой, т.к. CH - высота), ∠A - общий).
Запишем пропорциональность сторон: AB : AC (стороны против прямых углов) = CB : CH (против угла А).
Подставим известные величины в пропорцию: 30 : 24 = 18 : CH.
Тогда 30CH = 24 · 18 => 30CH = 432. Отсюда CH = 432 : 30 = 14,4.
Ответ: высота равна 14,4.
✅ Самопроверка с ответами
Задача 1. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 16 и 34. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Промежуточные вычисления: второй катет равен 30.
Ответ: 14 2/17.
Задача 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 28. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Промежуточные вычисления: гипотенуза равна 35.
Ответ: 16,8.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой из двух способов решения вы бы предпочли использовать?
✅ Самое надёжное — не зубрёжка, а понимание.
📌 Дальше — постепенный разбор задач задания 23:
👉 Подборка всех задач задания 23 - здесь.
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.