В начале XX века, когда над Европой сгущались тучи Первой мировой, в математике разгоралась своя война. Причиной ее стал кризис оснований математики, вызванный обнаруженными в них внутренними противоречиями.
История, математика, любовь, война и бесконечность – так определяет главные темы книги «Великая математическая война» ее автор, американский научный журналист и писатель Джейсон Сократ Барди. Бесконечность – потому что споры о ее природе, порожденные работами немецкого математика Георга Кантора, стали одним из важных эпизодов математической битвы. Любовь – потому что без нее невозможно понять судьбы многих героев этой книги. Особенно судьбу Бертрана Рассела, британского математика и философа, автора ключевых для XX века трудов по математической логике – и автора парадокса, который вскрыл логическую противоречивость в самом фундаменте математики.
«Парадокс Рассела» и другие изъяны, обнаруженные в основаниях своей науки, в начале XX века взялись объяснить и исправить несколько математиков – но каждый с разных сторон. Их усилия оформились в три главных враждующих лагеря великой математической войны: логицизм, формализм и интуиционизм.
Первый подход развивал сам Рассел. Брешь в основаниях математики (включая обнаруженный им парадокс) вместе со своим соавтором Альфредом Нортом Уайтхедом он пытался закрыть с помощью идеи, что математика – это просто продолжение логики. Если логика непогрешима, то и математика – тоже.
Пионером второго подхода стал немецкий математик Давид Гильберт. «Он разработал грандиозную схему: представить математику как игру, где объекты – это игровые фигуры, а аксиомы – формальные правила, определяющие результат», – рассказывает Барди. Это был масштабный план: спасти основания математики, сведя ее к строгой формальности – подобно правилам перестановки фигур на шахматной доске – для доказательства ее непротиворечивости.
Голландский математик Лейтзен Эгберт Ян Брауэр называл метод Гильберта «пустым формализмом» и предлагал альтернативу: математические объекты – не абстракции, а продолжение человеческой интуиции, которая и лежит в основе математики, а сама математика – нечто вроде пошаговой инструкции.
Великую математическую войну автор книги датирует периодом в полвека с 1883 по 1938 год, разделяя на три этапа: до, во время и после Первой мировой. Между этими двумя войнами Барди обнаруживает поразительную параллель, потому что «и то и другое было продиктовано одними причинами: ощущаемыми фундаментальными изъянами, верой в трещины в фундаменте, мнимыми экзистенциальными угрозами, столкновением мировоззрений и всей той ложью, которую мы говорим сами себе».
В интеллектуальной математической войне каждый из трех лагерей «проиграл» – а математика выиграла. Философы математики отказались от попыток присвоить ей статус «священного писания» и требовать абсолютной гарантии от философских сомнений. Это не повлияло на внутреннюю строгость, математика по-прежнему требует строгих доказательств внутри системы. Но изменение логико-философской парадигмы не помешало математике успешно развиваться, оставаясь «царицей наук», а даже наоборот: осознание ее границ сделало ее гибкой и мощной и породило новые направления науки.
Логицизм потерпел поражение, поскольку математика не сводима к чистой логике. Однако на «теории типов» Рассела, созданной им для устранения парадоксов в рамках самой концепции логицизма, построены современные языки программирования.
Формализм тоже провалился: оказалось, что непротиворечивость достаточно сложной системы, включающей арифметику, не может быть доказана ее же средствами (впоследствии эта теорема австрийского логика Курта Геделя стала метафорой, применимой к любым сложным системам в разных сферах и означающей, что ошибки в логике функционирования системы часто невозможно обнаружить изнутри нее). Однако наследием формализма Гильберта стал аксиоматический метод – стандарт современной математики. При этом математики приняли прагматическую установку: пока в системе не обнаружено противоречий и она дает содержательные результаты, она полезна, хотя строго доказать ее непротиворечивость невозможно.
Идеи интуиционизма о том, что математика – это только то, что можно «построить в уме», то есть что математический объект существует только тогда, когда существует метод его построения, оказались слишком радикальными для принятия. Однако эти идеи легли в основу описания вычислений и алгоритмов, обеспечив теоретический фундамент для создания компьютерных программ и проверки их корректности.
«Эконс» публикует отрывок из книги «Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики», которая недавно вышла в переводе на русский язык в Издательстве Института Гайдара.