В задании 8 ВПР по математике для 7 класса иногда встречается геометрическая задача, которая пугает учеников внешним углом и биссектрисой. На самом деле она решается просто, если знать два свойства: равнобедренного треугольника и внешнего угла. Разберём, как найти угол BAC в треугольнике с биссектрисой внешнего угла.
Разберём конкретный пример.
Условие задачи
Стороны AC и BC треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD , угол MCD равен 50° . Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.
Что важно понять перед решением
Треугольник ABC равнобедренный, потому что AC = BC. Значит, по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: ∠BAC = ∠ABC.
Внешний угол BCD получается, если продлить сторону AC треугольника за точку C. Он находится снаружи треугольника.
Луч CM — биссектриса этого внешнего угла, то есть делит его пополам. Угол MCD = 50° — это половина внешнего угла.
Дальше рассмотрим два способа решения: подробный (для понимания) и короткий (через свойство внешнего угла).
Первый способ решения (как найти угол через развёрнутый угол)
Шаг 1. Найдём угол BCM
Биссектриса CM делит угол BCD на два равных угла: ∠BCM и ∠MCD. По условию ∠MCD = 50°, значит, ∠BCM = 50°.
Шаг 2. Найдём угол BCA
Углы BCA, BCM и MCD вместе образуют развёрнутый угол, который равен 180°.
Запишем: ∠BCA + ∠BCM + ∠MCD = 180°.
Подставляем:
∠BCA + 50° + 50° = 180°.
∠BCA + 100° = 180°.
∠BCA = 180° − 100° = 80°.
Шаг 3. Найдём углы при основании равнобедренного треугольника
Треугольник ABC равнобедренный: AC = BC. Значит, по свойству равнобедренного треугольника углы при основании AB равны: ∠BAC = ∠ABC.
Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
Запишем: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°
Так как ∠BAC = ∠ABC, то ∠BAC = (180° - (∠ABC)) / 2 = (180° - 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°.
(Или можно решать так: обозначим ∠BAC = x, тогда ∠ABC = x, так как эти углы равны.
Получаем:
x + x + 80° = 180°
2x + 80° = 180°
2x = 180° − 80°
2x = 100°
x = 100° : 2 = 50°
Таким образом, ∠BAC = 50°).
4. Запишем ответ
Ответ: 50°.
Второй способ. Через свойство внешнего угла
Этот способ короче, но нужно знать одно правило. Сейчас разберём его по шагам.
1. Вспомним правило
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Что это значит? В треугольнике ABC внешний угол BCD находится снаружи рядом с углом BCA. Он не смежен с углами BAC и ABC. Поэтому:
∠BCD = ∠BAC + ∠ABC.
Запомните: берём два угла, которые не прилегают к внешнему, и складываем их.
2. Посмотрим, что у нас за треугольник
В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Это значит, что треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основание здесь AB. Значит:
∠BAC = ∠ABC.
3. Подставим равные углы в формулу внешнего угла
Мы знаем, что ∠BCD = ∠BAC + ∠ABC.
Так как ∠ABC = ∠BAC, то можно заменить ∠ABC на ∠BAC. Получится:
∠BCD = ∠BAC + ∠BAC = 2 · ∠BAC.
4. Найдём угол BCD из условия задачи
Посмотрим на рисунок. Луч CM — биссектриса внешнего угла BCD. Биссектриса делит угол пополам. Значит, луч CM разбивает ∠BCD на два равных угла: ∠BCM и ∠MCD.
В условии сказано: ∠MCD = 50°.
Так как эти два угла равны, то ∠BCM тоже равен 50°.
Значит, весь внешний угол BCD состоит из двух половинок:
∠BCD = ∠BCM + ∠MCD = 50° + 50° = 100°.
5. Подставим число в формулу
Мы получили, что ∠BCD = 2 · ∠BAC и ∠BCD = 100°.
Значит: 2 · ∠BAC = 100°
Чтобы найти ∠BAC, нужно разделить 100° на 2:
∠BAC = 100° : 2 = 50°.
6. Запишем ответ
Ответ: 50°.
Короткий итог для запоминания
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- Если биссектриса внешнего угла даёт половину 50°, то весь внешний угол равен 100°.
- Дальше остаётся только подставить и разделить.
Эта задача на ВПР — одна из самых простых в геометрии, если не путаться в определениях. Запомните алгоритм, и она не вызовет трудностей.
Подписывайтесь, чтобы не пропустить разбор других заданий ВПР и ОГЭ по математике. Разбираю задачи простым и понятным языком — без воды, но с объяснениями.