#ЕГЭ #Математика #Профиль #Планиметрия #Геометрия #Задание16
Задание №16 в профильном ЕГЭ по математике — это задача по планиметрии. Чаще всего про треугольники, окружности, четырехугольники или их комбинации. Нужно найти угол, сторону, радиус, площадь или доказать какое-то свойство.
Многие ученики боятся геометрии, потому что кажется, что нужно держать в голове сотни теорем. На самом деле в задании №16 используется ограниченный набор фактов. Если их знать — задача решается.
В этой статье разберем основные теоремы, которые нужны для задания №16, и типовые сценарии решения. Сохраняйте в закладки — перед экзаменом просто пролистаете и вспомните главное.
1. Что нужно знать перед стартом
Прежде чем решать задание №16, убедитесь, что вы помните:
· Теорему Пифагора и подобие треугольников. Если есть пробелы — освежите тему в [статье «Вся геометрия за 30 минут»].
· Свойства окружностей (вписанные и центральные углы, касательные, хорды). Помогут материалы из [раздела «Окружность на ЕГЭ»].
· Формулы площадей фигур. Об этом подробно в [статье «Площади фигур: шпаргалка»].
Если всё это уже на месте — погнали.
2. Главные теоремы для задания №16
Вот 10 теорем и фактов, которые встречаются в 90% задач №16. Выучите их наизусть.
1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b²
2. Сумма углов треугольника: 180°
3. Свойства вписанного угла: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Также вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
4. Угол между касательной и хордой: равен половине дуги, заключенной между ними.
5. Теорема о пересекающихся хордах: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: AM·MB = CM·MD
6. Теорема о касательной и секущей: квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть: AB² = AC·AD
7. Подобие треугольников: три признака подобия (по двум углам, по пропорциональности двух сторон и углу между ними, по пропорциональности трёх сторон).
8. Медианы, биссектрисы, высоты: точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1 считая от вершины. Биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
9. Свойства четырёхугольников: сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
10. Теорема синусов и косинусов: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R. c² = a² + b² - 2ab·cosC
3. Типовой сценарий 1: треугольник и окружность
Что дано: треугольник, вписанная или описанная окружность. Нужно найти радиус, сторону или угол.
Что нужно помнить:
· Центр вписанной окружности — пересечение биссектрис. Радиус r = 2S / (a+b+c)
· Центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров. Радиус R = abc / 4S
· Для прямоугольного треугольника: R = гипотенуза/2, r = (a+b-c)/2
Пример: В треугольнике ABC стороны равны 13, 14, 15. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение:
Шаг 1. Находим полупериметр: p = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21
Шаг 2. Находим площадь по формуле Герона: S = √(21·(21-13)·(21-14)·(21-15)) = √(21·8·7·6) = √(7056) = 84
Шаг 3. Находим радиус вписанной окружности: r = S/p = 84/21 = 4
Ответ: 4
4. Типовой сценарий 2: четырехугольник и окружность
Что дано: четырёхугольник, вписанный в окружность или описанный около неё.
Что нужно помнить:
· Для вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов = 180°
· Для описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны
Пример: В четырёхугольник ABCD вписана окружность. AB = 5, CD = 7. Найдите BC + AD.
Решение:
Для описанного четырёхугольника: AB + CD = BC + AD
Подставляем: 5 + 7 = BC + AD = 12
Ответ: 12
5. Типовой сценарий 3: пересекающиеся хорды и касательные
Что дано: окружность, хорды, касательные, секущие.
Что нужно помнить:
· Теорема о пересекающихся хордах: AM·MB = CM·MD
· Теорема о касательной и секущей: AB² = AC·AD
Пример: Из точки A вне окружности проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках C и D (AC = 4, AD = 9). Найдите AB.
Решение:
По теореме о касательной и секущей: AB² = AC·AD = 4·9 = 36
AB = √36 = 6
Ответ: 6
6. Типовой сценарий 4: задача с доказательством
Иногда в задании №16 нужно не вычислить, а доказать какое-то свойство (например, что точки лежат на одной окружности или что прямые перпендикулярны).
Что нужно помнить:
· Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то вокруг него можно описать окружность
· Если угол между хордой и касательной равен углу в противоположной дуге, то ...
· Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
Пример: Докажите, что в любом треугольнике точка пересечения высот, вершина и концы диаметра описанной окружности лежат на одной окружности.
Идея решения: используйте свойства ортоцентра и то, что угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
7. Типичные ошибки в задании №16
Ошибка 1. Путают вписанную и описанную окружности
Как избежать: вписанная — внутри треугольника, касается сторон. Описанная — вокруг треугольника, проходит через вершины.
Ошибка 2. Забывают, что радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы
Как избежать: выучите это как аксиому. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Ошибка 3. Неправильно применяют теорему о касательной и секущей
Как избежать: запомните формулу: квадрат касательной = произведение всей секущей на её внешнюю часть.
Ошибка 4. Путают центральный и вписанный углы
Как избежать: центральный угол равен дуге, вписанный — половине дуги.
Ошибка 5. Не проверяют, можно ли применить теорему синусов
Как избежать: теорема синусов работает в любом треугольнике, если известны сторона и противолежащий угол.
8. Бонус: экспресс-тренировка
1. В треугольнике ABC стороны равны 5, 5, 6. Найдите радиус вписанной окружности.
2. Из точки A вне окружности проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая AC (A-C-D, AC = 5, AD = 20). Найдите AB.
3. В окружности хорды AB и CD пересекаются в точке M. AM = 4, MB = 6, CM = 3. Найдите MD.
Проверьте себя:
1. p = (5+5+6)/2 = 8. S = √(8·3·3·2) = √(144) = 12. r = S/p = 12/8 = 1,5
2. AB² = AC·AD = 5·20 = 100 → AB = 10
3. AM·MB = CM·MD → 4·6 = 3·MD → 24 = 3·MD → MD = 8
Сохраните эту статью в закладки, чтобы перед экзаменом быстро повторить основные теоремы.
А в комментариях напишите: какая тема в геометрии вызывает у вас больше всего трудностей?
9. Как быстро научиться Бог решать задание №16
Геометрия — это не магия, а набор инструментов. Если вы знаете 10–15 теорем и умеете их применять, задание №16 станет решаемым.
Главный секрет успеха — решать много задач и разбирать каждую. Если вы чувствуете, что геометрия даётся тяжело, или хотите закрепить материал под руководством преподавателя, обратите внимание на профильные курсы.
💡 Скидка 500 рублей на курс подготовки по математике доступна по моей ссылке. Преподаватели разбирают каждое задание на реальных примерах и проверяют домашние работы с подробными комментариями.
👉 Переходите по ссылке: