#ЕГЭ #Математика #Профиль #Логарифмы #ПоказательныеУравнения #Задание14
Задание №14 в профильном ЕГЭ по математике — это логарифмическое или показательное уравнение. Нужно решить уравнение и отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку.
Многие ученики боятся этого задания из-за громоздких вычислений и путаницы с ОДЗ. Но есть хорошая новость: все типы уравнений решаются по единым алгоритмам.
В этой статье разберем методы решения логарифмических и показательных уравнений, отбор корней и самые частые ловушки. Сохраняйте в закладки — перед экзаменом просто пролистаете и вспомните главное.
1. Что нужно знать перед стартом
Прежде чем решать задание №14, убедитесь, что вы умеете:
· Работать со степенями (умножение, деление, возведение в степень). Если есть пробелы — освежите тему в [статье «Степени и корни: вся теория»].
· Работать с логарифмами (основное тождество, свойства, переход к новому основанию). Помогут материалы из [раздела «Логарифмы для чайников»].
· Решать квадратные уравнения и раскладывать на множители. Об этом подробно в [статье «Квадратные уравнения на ЕГЭ»].
Если всё это уже на месте — погнали.
2. Главное правило: ОДЗ — это святое
Прежде чем решать любое логарифмическое или показательное уравнение, запишите ОДЗ.
Для логарифмов:
· Выражение под логарифмом > 0
· Основание логарифма > 0 и ≠ 1
Для показательных уравнений:
· Показательная функция определена при любом x
· Но если есть замена t = aˣ, помните: t > 0
Пример записи ОДЗ для уравнения: log₂(x - 3) + log₂(x - 2) = 1
ОДЗ: x - 3 > 0 и x - 2 > 0 → x > 3
---
3. Методы решения логарифмических уравнений
Метод 1. Приведение к одинаковому основанию
Если в уравнении несколько логарифмов с разными основаниями, нужно привести их к одному основанию.
Пример: log₂x + log₄x = 3
Решение:
log₄x = log₂x / log₂4 = log₂x / 2 = (1/2)·log₂x
Подставляем: log₂x + (1/2)·log₂x = 3
(3/2)·log₂x = 3
log₂x = 2
x = 2² = 4
Проверка по ОДЗ: x > 0 → 4 подходит
Ответ: 4
Метод 2. Потенцирование (избавляемся от логарифмов)
Если уравнение имеет вид logₐ(f(x)) = logₐ(g(x)), то можно перейти к f(x) = g(x). Но не забывайте про ОДЗ!
Пример: log₂(x - 3) + log₂(x - 2) = 1
Решение:
Сумма логарифмов = логарифм произведения: log₂((x - 3)(x - 2)) = 1
log₂(x² - 5x + 6) = 1
По определению логарифма: x² - 5x + 6 = 2¹ = 2
x² - 5x + 4 = 0
Корни: x = 1 и x = 4
Проверка по ОДЗ: x > 3 → подходит только x = 4
Ответ: 4
Метод 3. Замена переменной
Если в уравнении есть (logₐx)² и logₐx, делаем замену t = logₐx.
Пример: log₂²x - 3log₂x + 2 = 0
Решение:
Пусть t = log₂x. Тогда уравнение: t² - 3t + 2 = 0
Корни: t = 1 и t = 2
Возвращаемся к замене:
log₂x = 1 → x = 2¹ = 2
log₂x = 2 → x = 2² = 4
Проверка по ОДЗ: x > 0 → оба корня подходят
Ответ: 2; 4
4. Методы решения показательных уравнений
Метод 1. Приведение к одинаковому основанию
Самый простой способ: представить обе части уравнения как степени с одинаковым основанием.
Пример: 2ˣ⁺¹ = 8
Решение:
8 = 2³
2ˣ⁺¹ = 2³
x + 1 = 3 → x = 2
Ответ: 2
Метод 2. Вынесение общего множителя
Если в уравнении есть несколько слагаемых со степенями, выносим общий множитель.
Пример: 2ˣ⁺² - 2ˣ = 12
Решение:
2ˣ⁺² = 2ˣ·2² = 4·2ˣ
Уравнение: 4·2ˣ - 2ˣ = 12
3·2ˣ = 12
2ˣ = 4 → x = 2
Ответ: 2
Метод 3. Замена переменной
Если уравнение сводится к квадратному относительно aˣ, делаем замену t = aˣ (t > 0).
Пример: 4ˣ - 2ˣ⁺¹ - 8 = 0
Решение:
4ˣ = (2²)ˣ = 2²ˣ
2ˣ⁺¹ = 2·2ˣ
Уравнение: 2²ˣ - 2·2ˣ - 8 = 0
Пусть t = 2ˣ (t > 0). Тогда: t² - 2t - 8 = 0
Корни: t = 4 и t = -2
t > 0, поэтому t = 4
2ˣ = 4 → x = 2
Ответ: 2
5. Отбор корней на промежутке
После того как вы решили уравнение, нужно отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку. Это можно сделать двумя способами.
Способ 1. Тригонометрическая окружность (для простых промежутков)
Используйте для промежутков вида [0; π], [-π/2; 3π/2] и т.д.
Алгоритм:
1. Нарисуйте окружность.
2. Отметьте заданный промежуток.
3. Нанесите полученные корни.
4. Выберите те, которые попали в нужную область.
Способ 2. Двойное неравенство (для любых промежутков)
Алгоритм:
1. Запишите серию корней (например, x = π/3 + 2πn).
2. Подставьте в неравенство a ≤ x ≤ b.
3. Решите неравенство относительно n.
4. Найдите целые n, подставьте в серию корней.
Пример: Отберите корни уравнения sinx = 1/2 на промежутке [0; π/2]
Серии корней: x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn
Для первой серии: 0 ≤ π/6 + 2πn ≤ π/2
· При n = 0: π/6 ≈ 0,52 → подходит
· При n = 1: π/6 + 2π > π/2 → не подходит
· При n = -1: π/6 - 2π < 0 → не подходит
Для второй серии: 0 ≤ 5π/6 + 2πn ≤ π/2
· При n = 0: 5π/6 ≈ 2,62 > π/2 → не подходит
· При n = -1: 5π/6 - 2π = -7π/6 < 0 → не подходит
Ответ: π/6
6. Типичные ошибки в задании №14
Ошибка 1. Забывают про ОДЗ в логарифмических уравнениях
Как избежать: всегда начинайте решение с записи ОДЗ. Отдельной строкой вверху. Если корень не проходит ОДЗ — отбрасывайте его.
Ошибка 2. Теряют корни при делении на выражение с переменной
Как избежать: никогда не делите обе части уравнения на выражение, которое может быть равно нулю. Лучше вынести за скобки.
Ошибка 3. Не проверяют условие t > 0 при замене в показательных уравнениях
Как избежать: после замены t = aˣ всегда записывайте: t > 0. Полученные отрицательные t отбрасывайте.
Ошибка 4. Путают формулы логарифмов
Как избежать: выпишите основные свойства логарифмов на отдельный лист и держите перед глазами. Вот они:
· logₐ(xy) = logₐx + logₐy
· logₐ(x/y) = logₐx - logₐy
· logₐ(xⁿ) = n·logₐx
· logₐa = 1
· logₐ1 = 0
Ошибка 5. Неправильно отбирают корни на промежутке
Как избежать: используйте метод двойного неравенства. Он надежнее, чем визуальная оценка на окружности.
7. Бонус: экспресс-тренировка
Решите уравнения и найдите корни на указанном промежутке:
1. log₂(x - 1) = 3, промежуток [5; 10]
2. 2ˣ⁺¹ + 2ˣ = 12, промежуток [0; 3]
3. log₂²x - 5log₂x + 6 = 0, промежуток [1; 8]
Проверьте себя:
1. x - 1 = 2³ = 8 → x = 9. ОДЗ: x > 1 → 9 подходит. На промежутке [5; 10] — да.
2. 2·2ˣ + 2ˣ = 3·2ˣ = 12 → 2ˣ = 4 → x = 2. На промежутке [0; 3] — да.
3. t = log₂x, t² - 5t + 6 = 0 → t = 2 и t = 3. log₂x = 2 → x = 4. log₂x = 3 → x = 8. На промежутке [1; 8] — оба корня подходят.
Сохраните эту статью в закладки, чтобы перед экзаменом быстро повторить методы решения.
А в комментариях напишите: какие уравнения вызывают у вас больше всего трудностей — логарифмические или показательные?
8. Как быстро научиться решать задание №14
Задание №14 — одно из самых «решаемых» в ЕГЭ. Если выучить методы и набить руку на 15–20 примерах, 2 балла в кармане.
Главный секрет успеха — системная практика и разбор каждого шага. Если вы чувствуете, что тема логарифмов или показательных уравнений даётся тяжело, или хотите закрепить материал под руководством преподавателя, обратите внимание на профильные курсы.
💡 Скидка 500 рублей на курс подготовки по математике доступна по моей ссылке. Преподаватели разбирают каждое задание на реальных примерах и проверяют домашние работы с подробными комментариями.
👉 Переходите по ссылке: