#ЕГЭ #Математика #Профиль #Производная #ИсследованиеФункций #Задание12
Задание №12 в профильном ЕГЭ по математике — это задача на исследование функции с помощью производной. Нужно найти точки максимума и минимума, экстремумы функции или наибольшее и наименьшее значение на отрезке.
Многие ученики боятся этого задания, потому что путаются в алгоритме: когда искать нули производной, когда подставлять концы отрезка, а когда смотреть знаки.
Спойлер: всё решается по единому алгоритму из 4 шагов. Никакой магии. Только четкая последовательность действий.
В этой статье разберем все типы заданий №12. Сохраняйте в закладки — перед экзаменом просто пролистаете и вспомните главное.
1. Что нужно знать перед стартом
Прежде чем решать задание №12, убедитесь, что вы умеете:
· Находить производную (степенная функция, произведение, частное, сложная функция). Если с этим проблемы — освежите тему в [статье «Производная для чайников»].
· Решать уравнения (квадратные, дробно-рациональные, показательные). Помогут материалы из [раздела «Алгебра: от простого к сложному»].
· Работать с числовой прямой и расставлять знаки. Об этом подробно в [статье «Метод интервалов на ЕГЭ»].
Если всё это уже на месте — погнали.
2. Главный алгоритм: 4 шага для любого задания №12
Этот алгоритм работает для всех задач на исследование функций. Просто следуйте по пунктам.
Шаг 1. Найти производную функции f'(x)
Шаг 2. Найти нули производной (решить уравнение f'(x) = 0)
Шаг 3. Определить, какие из этих точек входят в область определения и в заданный отрезок (если он есть)
Шаг 4. Применить нужный сценарий в зависимости от вопроса задачи
А теперь разберем три главных сценария, которые встречаются в задании №12.
3. Сценарий 1. Найти точки экстремума (максимума или минимума)
Вопрос звучит так: «Найдите точку максимума (или минимума) функции».
Алгоритм:
1. Находим производную.
2. Находим нули производной.
3. Рисуем числовую прямую, отмечаем нули производной.
4. Расставляем знаки производной на интервалах (подставляем пробные числа).
5. Смотрим, где знак меняется с + на - → точка максимума. Где с - на + → точка минимума.
Пример: Найдите точку минимума функции f(x) = x³ - 3x + 1
Шаг 1. Производная: f'(x) = 3x² - 3
Шаг 2. Нули производной: 3x² - 3 = 0 → 3(x² - 1) = 0 → x² = 1 → x = -1 или x = 1
Шаг 3. Числовая прямая. Отмечаем точки -1 и 1.
Шаг 4. Расставляем знаки:
· При x = -2 (левее -1): 3·4 - 3 = 12 - 3 = 9 → плюс
· При x = 0 (между -1 и 1): 0 - 3 = -3 → минус
· При x = 2 (правее 1): 12 - 3 = 9 → плюс
Шаг 5. Смотрим смену знаков:
· В точке x = -1: производная меняет знак с + на - → это точка максимума
· В точке x = 1: производная меняет знак с - на + → это точка минимума
Ответ: 1
4. Сценарий 2. Найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке
Вопрос звучит так: «Найдите наибольшее (или наименьшее) значение функции f(x) на отрезке [a; b]».
Алгоритм:
1. Находим производную.
2. Находим нули производной.
3. Отбираем те нули, которые попадают в отрезок [a; b].
4. Вычисляем значение функции в этих точках и на концах отрезка (в точках a и b).
5. Среди полученных чисел выбираем наибольшее или наименьшее.
Пример: Найдите наибольшее значение функции f(x) = x³ - 3x + 1 на отрезке [-2; 2]
Шаг 1. Производная: f'(x) = 3x² - 3
Шаг 2. Нули производной: x = -1 и x = 1
Шаг 3. Отбираем нули на отрезке [-2; 2]: подходят оба: -1 и 1
Шаг 4. Вычисляем значения:
· f(-2) = (-8) + 6 + 1 = -1
· f(-1) = (-1) + 3 + 1 = 3
· f(1) = 1 - 3 + 1 = -1
· f(2) = 8 - 6 + 1 = 3
Шаг 5. Выбираем наибольшее: максимальное значение = 3
Ответ: 3
5. Сценарий 3. Найти экстремумы функции (значения в точках максимума и минимума)
Вопрос звучит так: «Найдите сумму экстремумов функции» или «Найдите f(x) в точке экстремума».
Алгоритм:
1. Находим производную.
2. Находим нули производной (точки экстремума).
3. Подставляем эти точки в исходную функцию (не в производную!).
4. Полученные числа — это и есть экстремумы.
Пример: Найдите значение функции f(x) = x³ - 3x + 1 в точке минимума.
Шаг 1. Производная: f'(x) = 3x² - 3
Шаг 2. Нули производной: x = -1 и x = 1 (какая из них точка минимума? — x = 1)
Шаг 3. Подставляем в исходную функцию: f(1) = 1 - 3 + 1 = -1
Ответ: -1
6. Сценарий 4. Сложные функции (логарифмы, показательные, дроби)
Алгоритм тот же, но производные находятся по другим правилам.
Пример: Найдите точку максимума функции f(x) = (x - 3)² · eˣ
Шаг 1. Производная (произведение):
f'(x) = 2(x - 3)·eˣ + (x - 3)²·eˣ = eˣ·(x - 3)·(2 + x - 3) = eˣ·(x - 3)·(x - 1)
Шаг 2. Нули производной: eˣ > 0 всегда, поэтому f'(x) = 0 при x = 3 или x = 1
Шаг 3. Числовая прямая и знаки:
· При x < 1 (например, x = 0): e⁰·(-3)·(-1) = 1·3 = 3 → плюс
· При 1 < x < 3 (например, x = 2): e²·(-1)·(1) = отрицательное → минус
· При x > 3 (например, x = 4): e⁴·(1)·(3) = положительное → плюс
Шаг 4. Смена знаков: в точке x = 1 производная меняет знак с + на - → это точка максимума
Ответ: 1
7. Типичные ошибки в задании №12
Ошибка 1. Путают точки экстремума и экстремумы
Как избежать: Точка экстремума — это x (например, x = 1). Экстремум — это значение функции в этой точке (например, f(1) = -1). Внимательно читайте вопрос.
Ошибка 2. Забывают подставлять концы отрезка
Как избежать: при поиске наибольшего/наименьшего значения на отрезке всегда проверяйте концы. Даже если производная там не обнуляется.
Ошибка 3. Неправильно находят производную сложной функции
Как избежать: повторите правила дифференцирования. Особенно опасны произведения, частные и сложные функции. Примеры разобраны в [статье «Производная на ЕГЭ: полный разбор»].
Ошибка 4. Путают плюс и минус при расстановке знаков
Как избежать: не полагайтесь на интуицию. Берите конкретное число из интервала и подставляйте в производную. 30 секунд — и вы точно знаете знак.
Ошибка 5. Не проверяют ОДЗ
Как избежать: если в функции есть логарифм, корень или знаменатель, сначала найдите ОДЗ. Точки экстремума вне ОДЗ не рассматриваются.
8. Бонус: экспресс-тренировка
Найдите точки экстремума функций:
1. f(x) = x² - 4x + 5
2. f(x) = x³ - 3x² + 2
3. f(x) = (x - 2)²·eˣ
Проверьте себя:
1. f'(x) = 2x - 4 = 0 → x = 2 → точка минимума
2. f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2) = 0 → x = 0 (максимум), x = 2 (минимум)
3. f'(x) = eˣ·(x - 2)·(x - 0) = eˣ·x·(x - 2) = 0 → x = 0 (максимум), x = 2 (минимум)
Сохраните эту статью в закладки, чтобы перед экзаменом быстро повторить алгоритм.
А в комментариях напишите: какой тип задач на производную вызывает у вас больше всего трудностей? Разберем его подробнее!
9. Как быстро научиться решать задание №12
Задание №12 — одно из самых «решаемых» в ЕГЭ. Если выучить алгоритм и набить руку на 10–15 примерах, балл гарантирован.
Главный секрет успеха — системная практика и разбор каждого шага. Если вы чувствуете, что тема производной даётся тяжело, или хотите закрепить материал под руководством преподавателя, обратите внимание на профильные курсы.
💡 Скидка 500 рублей на курс подготовки по математике доступна по моей ссылке. Преподаватели разбирают каждое задание на реальных примерах и проверяют домашние работы с подробными комментариями.
👉 Переходите по ссылке: