Как найти радиус окружности, описанной около треугольника АВС (см.)?

Слушайте, геометрия — штука тонкая, и порой кажется, что эти треугольники и круги нарочно пытаются нас запутать. Сидишь такой над тетрадкой, смотришь на чертеж и думаешь: «Ну и как найти радиус окружности, описанной около треугольника АВС (см.)?». На самом деле, всё не так страшно, если разложить всё по полочкам и не паниковать раньше времени.

Теорема синусов — наш лучший друг

Если вы забыли про теорему синусов, то самое время её вспомнить, честное слово. Это, пожалуй, самый элегантный способ. Суть проста как дважды два: отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла всегда равно двум радиусам этой самой описанной окружности.

Глядя на свои записи, вы наверняка спросите: а что делать, если известен только один угол? Да этого за глаза хватит! Формула выглядит так: R=a/(2⋅sin⁡A)R = a / (2 \cdot \sin A). Вот вам и ответ на вопрос, как найти радиус окружности, описанной около треугольника АВС (см.), если под рукой есть транспортир или значение синуса. Главное — не перепутать сторону с прилежащим углом, а то получится какая-то абракадабра.

А если через площадь?

Бывают случаи, когда с углами совсем беда — ну не даны они в условии, и хоть ты тресни. Тут на помощь приходит «тяжелая артиллерия» в виде формулы через площадь. Знаете её? Она связывает все три стороны и радиус в одну симпатичную конструкцию: R=(abc)/(4S)R = (abc) / (4S).

1. Сначала находим длины всех сторон (пусть это будут a,ba, b и cc).
2. Считаем площадь треугольника (SS) — тут пригодится старина Герон.
3. Подставляем числа и вуаля!

Работая над задачей, понимаешь, что метод Герона — штука громоздкая, зато надежная как швейцарские часы. Согласитесь, приятно же решить сложную задачку без единого замера углов?

Прямоугольный треугольник: халява, приди!

О, если ваш треугольник АВС оказался прямоугольным, то считайте, что вы вытянули счастливый билет. В этом случае гипотенуза сама по себе является диаметром окружности. То есть центр круга лежит ровно на середине самой длинной стороны. Вам даже не нужно ломать голову над тем, как найти радиус окружности, описанной около треугольника АВС (см.). Просто берете гипотенузу, делите её пополам — и дело в шляпе!

Короче говоря, подходов масса. Всё зависит от того, что именно вам «подбросили» в дано. Главное — не бояться формул и внимательно следить за вычислениями, а остальное приложится. Ну что, готовы пойти и щелкать эти задачки как орешки?