Задание №13 в ОГЭ по математике — это решение неравенств и систем неравенств. Вам дают одно или два неравенства, нужно найти их решение и выбрать подходящий числовой промежуток из списка. Казалось бы, ничего сложного. Но именно здесь даже хорошисты теряют баллы. Почему? Потому что путают знаки, забывают поменять направление неравенства при делении на отрицательное число и неправильно читают числовые прямые.
Разберем главные ошибки и дадим простые лайфхаки.
Что проверяет номер 13?
В этом задании встречаются:
Линейные неравенства. Например: 3x — 5 > 7. Решается как обычное уравнение, но с одним важным правилом.
Квадратные неравенства. Например: x^2 — 4x + 3 < 0. Здесь нужно найти корни и определить промежуток.
Системы неравенств. Нужно найти пересечение решений двух (или трёх) неравенств.
Ответом является номер числового промежутка на картинке или запись самого промежутка.
Главные ошибки
Ошибка 1. Забывают поменять знак неравенства
Это самое важное правило. Если вы делите или умножаете обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
Пример: -2x > 6. Делим на -2, получаем x < -3. Многие забывают поменять «больше» на «меньше» и пишут x > -3. Это грубейшая ошибка.
Лайфхак: увидели минус перед переменной — сразу готовьтесь менять знак. Перепроверьте себя в конце.
Ошибка 2. Неправильно отмечают точки на прямой
Для строгих неравенств (< или >) точка выколотая (пустой кружок). Для нестрогих (≤ или ≥) — закрашенная (жирный кружок). Многие путают.
Лайфхак: запомните — «строго» значит «пусто» (точка не входит). «Нестрого» — «жирно» (точка входит).
Ошибка 3. Путают штриховку при умножении на минус
Если после преобразования получилось x < 3, штриховка идёт влево от 3. Если x > 3 — вправо. Кажется очевидным, но в спешке ученики рисуют наоборот.
Лайфхак: на черновике нарисуйте маленькую числовую прямую и поставьте стрелку. Стрелка всегда показывает в сторону увеличения x.
Ошибка 4. В системах ищут объединение вместо пересечения
В системе неравенств (фигурная скобка) должны выполняться оба условия. Нужно пересечение промежутков — то место, где штриховки совпадают. Многие по ошибке берут объединение.
Лайфхак: нарисуйте две числовые прямые друг под другом. Отметьте решение каждого неравенства. Там, где штриховки есть на обеих прямых — это и есть ответ.
Лайфхаки для быстрого решения
Лайфхак 1. Решайте неравенство как уравнение
Сначала забудьте про знак неравенства. Решите уравнение: перенесите слагаемые, найдите x. Потом посмотрите на знак и решите, куда штриховать.
Лайфхак 2. Для квадратных неравенств используйте параболу
Найдите корни уравнения. Если a > 0 (коэффициент перед x^2 положительный), парабола смотрит вверх. Неравенство < 0 — промежуток между корнями. Неравенство > 0 — промежутки вне корней.
Лайфхак: запомните фразу «между корнями — меньше нуля, за корнями — больше нуля».
Лайфхак 3. Проверьте себя подстановкой
Сомневаетесь? Возьмите любое число из найденного промежутка. Подставьте в исходное неравенство. Если получилось верное числовое неравенство — вы всё сделали правильно.
Лайфхак 4. В системах сначала решите каждое неравенство отдельно
Не пытайтесь решать систему в уме. Запишите решение первого неравенства, потом второго. Потом найдите их пересечение на числовой прямой.
Пошаговый алгоритм для номера 13
Шаг 1. Решите каждое неравенство как уравнение. Перенесите неизвестные в одну сторону, числа в другую.
Шаг 2. Если при делении на отрицательное число — поменяйте знак неравенства.
Шаг 3. Запишите решение в виде x < a или x > b.
Шаг 4. Если это система — нарисуйте числовые прямые и найдите пересечение.
Шаг 5. Сравните полученный промежуток с вариантами ответа.
Шаг 6. Запишите номер правильного ответа в бланк.
Пример разбора
Условие: решите неравенство -3x + 6 ≥ 0.
Решение:
1. Переносим 6 в правую часть: -3x ≥ -6.
2. Делим на -3. Внимание! Делим на отрицательное число, знак меняется: x ≤ 2.
3. Ответ: x ≤ 2. На числовой прямой — закрашенная точка на 2 и штриховка влево.
Пример системы
Условие: решите систему: { x > 3, x ≤ 7 }.
Решение:
1. Первое неравенство: x > 3 (пустой кружок на 3, штриховка вправо).
2. Второе неравенство: x ≤ 7 (закрашенный кружок на 7, штриховка влево).
3. Пересечение: от 3 (не включая) до 7 (включая). Ответ: (3; 7].
Заключение
Номер 13 — это не проверка гениальности, а проверка знания одного правила: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Запомните это — и вы решите 90% заданий. Нарешайте 10–15 вариантов, нарисуйте десяток числовых прямых, и вы будете щёлкать неравенства как орешки. Удачи на экзамене!