Нейросеть GPT‑5.4 Pro регулярно справляется с задачами из базы математика Пола Эрдёша — в последний месяц это происходит почти еженедельно. 13 апреля произошёл особый случай: оксфордский математик Джаред Дукер Лихтман, семь лет работавший над задачей #1196, назвал решение GPT‑5.4 Pro «первым доказательством уровня Книги Эрдёша».
«Книгой» Эрдёш шутливо называл воображаемую книгу Бога с самыми изящными доказательствами теорем. Промпт составил Лиам Прайс, а модель решила задачу за 80 минут — с первой попытки.
Суть задачи #1196
Задача восходит к гипотезе 1968 года, выдвинутой Эрдёшем, Андрашем Шаркози и Эндре Семереди. Она касается примитивных множеств целых чисел — таких, где ни один элемент не делится на другой.
Ещё в 1935 году Эрдёш доказал, что сумма ∑aloga1 по примитивному множеству конечна. Задача #1196 уточняла: насколько малой становится эта сумма, если оставить только большие числа?
До решения GPT‑5.4 Pro лучший результат принадлежал самому Лихтману (2023): верхняя граница составляла около 1,399. Нейросеть же дала точную асимптотику: 1+O(logx1).
В чём новизна подхода
Главное достижение — не итоговый результат, а метод доказательства. С 1935 года математики переводили задачу из теории чисел в теорию вероятностей. По словам Лихтмана, этот подход казался настолько естественным, что альтернативные пути никто не искал.
GPT‑5.4 Pro предложила иной путь — через функцию фон Мангольдта из аналитической теории чисел. Этот объект с «немотивированным» определением кодирует основную теорему арифметики.
Лихтман сравнил открытие нейросети с новой дебютной линией в шахматах, которую упустили из‑за привычных эстетических установок. Аналитики также вспоминают «ход 37» в матче AlphaGo против Ли Седоля (2016): тогда ИИ сделал ход, сначала принятый за сбой, — но он перевернул теорию игры го и показал, что машины находят неочевидные решения.
Развитие идеи Теренсом Тао
За сутки после публикации доказательства филдсовский лауреат Теренс Тао превратил его в основу новой теории:
- переформулировал аргумент через нисходящий марковский процесс;
- ввёл новую каноническую меру ν(n);
- установил её связь с обратной дзета‑функцией Римана ζ(s)1;
- привлёк к работе математиков Уилла Совина и Кевина Барретто — они вывели явные формулы.
Тао отметил: «AI‑статья непреднамеренно подсветила более тесную связь между двумя областями математики, чем это было ранее явно сделано в литературе. Это вклад в анатомию целых чисел, выходящий далеко за рамки решения конкретной задачи Эрдёша».
Дальнейшие шаги
Лиам Прайс продолжает серию экспериментов с открытыми задачами Эрдёша через GPT‑5.4 Pro. За последний месяц модель решила как минимум три задачи, в т. ч.:
- задачу #1202 из «зелёного списка» Бена Грина;
- предоставила контрпример к гауссову корреляционному неравенству.
Джаред Лихтман предложил Прайсу написать совместную статью с разбором приложений нового метода. Тем временем Lean‑ассистент Aristotle уже формализовал две вспомогательные леммы; основная теорема пока проверена частично.