#ЕГЭ #Математика #Профиль #ЭкономическаяЗадача #Кредиты #Вклады #Задание17
Задание №17 в профильном ЕГЭ по математике — это экономическая задача. Чаще всего речь идет о кредитах, вкладах или оптимизации производства. Многие ученики боятся этого номера из-за громоздких вычислений и путаницы в формулах.
Но есть хорошая новость: все задачи этого типа решаются по единым схемам. Достаточно понять три основных типа — и вы сможете решить любой вариант.
В этой статье разберем самые частые типы экономических задач: аннуитетные платежи, дифференцированные платежи, задачи с вкладами и задачи на оптимизацию. Сохраняйте в закладки — перед экзаменом просто пролистаете и вспомните формулы.
---
1. Что требуется в задании №17
В задании №17 дается текстовая задача экономического содержания. Нужно:
· составить математическую модель (уравнение или неравенство)
· решить полученное уравнение
· дать ответ в виде числа (проценты, срок, сумма платежа)
Задание оценивается в 2 балла. Частая ошибка: ученики правильно решают уравнение, но ошибаются в логике начисления процентов.
---
2. Основные формулы, которые нужно знать
Формула сложного процента (для вкладов и кредитов):
Если сумма S увеличивается на r% каждый период, то через n периодов она станет:
S · (1 + r/100)ⁿ
Формула простого процента:
Если проценты начисляются один раз в конце срока:
S · (1 + n · r/100)
Связь между годовой ставкой и ежемесячной:
Если годовая ставка r%, то ежемесячная ставка = r/12 %
---
3. Тип 1. Аннуитетные платежи (равные ежемесячные платежи)
Это самый частый тип задачи. Вы берете кредит на определенную сумму и каждый месяц платите одну и ту же сумму. В начале платежа большая часть уходит на проценты, в конце — на основной долг.
Общая схема:
Пусть:
· S — сумма кредита
· r — годовая процентная ставка (в %)
· m = r/12 — ежемесячная процентная ставка (в %)
· k = 1 + m/100 — коэффициент, на который умножается долг каждый месяц
· x — ежемесячный платеж
· n — количество месяцев
Основное уравнение:
S · kⁿ = x · (kⁿ⁻¹ + kⁿ⁻² + ... + k + 1)
Сумма в скобках — это геометрическая прогрессия. Ее можно свернуть:
S · kⁿ = x · (kⁿ - 1)/(k - 1)
Отсюда можно выразить любой параметр.
---
Пример 1. Аннуитетный кредит
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия возврата:
· 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца
· со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга
· 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 1,8 млн рублей?
Решение:
Это задача на дифференцированные платежи (не аннуитет). Разберем ее в следующем типе. А для аннуитета посмотрим другой пример.
---
4. Тип 2. Дифференцированные платежи (уменьшающиеся платежи)
В этой схеме основной долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же сумму. Проценты начисляются на остаток долга. Платеж каждый месяц разный: сначала большой, потом маленький.
Общая схема:
Пусть:
· S — сумма кредита
· n — количество месяцев
· r — годовая процентная ставка (в %)
· m = r/12 — ежемесячная ставка
Основной платеж (погашение тела кредита) каждый месяц: S/n
Проценты в первом месяце: S · m/100
Проценты во втором месяце: (S - S/n) · m/100
...
Проценты в последнем месяце: (S/n) · m/100
Общая сумма выплат = S + (сумма всех процентов)
Сумма процентов = (m/100) · [S + (S - S/n) + (S - 2S/n) + ... + S/n]
Это арифметическая прогрессия. Сумма = (m/100) · (n+1)/2 · S
---
Пример 2. Дифференцированный кредит
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия возврата:
· 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца
· со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга
· 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 1,8 млн рублей?
Шаг 1. Понимаем условия
Долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же сумму. Значит, это дифференцированный платеж.
Пусть S — сумма кредита. Тогда каждый месяц основной долг уменьшается на S/24.
Шаг 2. Считаем проценты
Ежемесячная ставка: 2% (дана в условии: долг увеличивается на 2% 1-го числа).
Проценты за первый месяц: 0,02S
Проценты за второй месяц: 0,02 · (S - S/24) = 0,02 · (23S/24)
Проценты за третий месяц: 0,02 · (22S/24)
...
Проценты за последний месяц: 0,02 · (S/24)
Шаг 3. Находим сумму всех процентов
Сумма процентов = 0,02S · [1 + 23/24 + 22/24 + ... + 1/24]
В скобках: 1 + (23+22+...+1)/24
Сумма чисел от 1 до 23 = 23·24/2 = 276
Значит: 1 + 276/24 = 1 + 11,5 = 12,5
Сумма процентов = 0,02S · 12,5 = 0,25S
Шаг 4. Составляем уравнение
Общая сумма выплат = сумма кредита + сумма процентов
1,8 = S + 0,25S
1,8 = 1,25S
S = 1,8 / 1,25 = 1,44
Ответ: 1,44 млн рублей
---
5. Тип 3. Вклады с капитализацией
Вклады с капитализацией — это когда проценты начисляются на проценты. Работает формула сложного процента.
Общая формула:
S = P · (1 + r/100)ⁿ
где:
· P — первоначальный вклад
· r — годовая ставка (в %)
· n — количество лет
Если проценты начисляются несколько раз в год, формула меняется:
S = P · (1 + (r/100)/m)ⁿ·ᵐ
где m — количество начислений в год.
---
Пример 3. Вклад с капитализацией
Вкладчик положил в банк 100 000 рублей под 10% годовых с ежемесячной капитализацией процентов. Какая сумма будет на счету через 2 года?
Шаг 1. Определяем параметры
P = 100 000
r = 10%
m = 12 (начислений в год)
n = 2 (года)
Шаг 2. Подставляем в формулу
S = 100 000 · (1 + 10/(100·12))²·¹²
S = 100 000 · (1 + 10/1200)²⁴
S = 100 000 · (1 + 1/120)²⁴
S = 100 000 · (121/120)²⁴
Шаг 3. Вычисляем приблизительно
(121/120)²⁴ ≈ 1,22
S ≈ 100 000 · 1,22 = 122 000
Ответ: около 122 000 рублей
---
6. Тип 4. Задачи на оптимизацию (производство)
В таких задачах нужно найти максимальную прибыль, минимальные издержки или оптимальный объем производства.
Общая схема:
1. Ввести переменные
2. Составить функцию прибыли (или издержек)
3. Найти ее максимум (или минимум) с помощью производной или свойств квадратичной функции
---
Пример 4. Задача на оптимизацию
Предприятие производит и продает товар. Зависимость спроса от цены: q = 100 - p, где q — количество товара (в тысячах штук), p — цена (в рублях). Себестоимость производства q товаров составляет C(q) = 50q + 200 (в тысячах рублей). При какой цене прибыль будет максимальной?
Шаг 1. Выражаем всё через p
Количество: q = 100 - p
Выручка: R = p · q = p(100 - p) = 100p - p²
Себестоимость: C = 50(100 - p) + 200 = 5000 - 50p + 200 = 5200 - 50p
Шаг 2. Составляем функцию прибыли
Прибыль = Выручка - Себестоимость
П(p) = (100p - p²) - (5200 - 50p)
П(p) = 100p - p² - 5200 + 50p
П(p) = -p² + 150p - 5200
Шаг 3. Находим максимум квадратичной функции
Это парабола ветвями вниз. Вершина в точке p = -b/(2a) = -150/(2·(-1)) = 75
Шаг 4. Проверяем ограничения
q = 100 - 75 = 25 (тысяч штук) — положительное количество. Цена 75 рублей.
Ответ: 75 рублей
---
7. Типичные ошибки в задании №17
Ошибка 1. Путают аннуитетный и дифференцированный платежи
Как избежать: если в условии сказано «долг уменьшается на одну и ту же сумму» — это дифференцированный. Если «платеж одинаковый каждый месяц» — аннуитетный.
Ошибка 2. Неправильно переводят проценты
Как избежать: 10% годовых = 10/100 = 0,1 в долях. Ежемесячная ставка = 10/12 % = 10/(12·100) в долях.
Ошибка 3. Путают формулу сложного процента
Как избежать: запомните: S = P·(1 + r)ⁿ, где r — ставка в долях. Если проценты начисляются m раз в год: S = P·(1 + r/m)ⁿ·ᵐ.
Ошибка 4. Забывают про единицы измерения
Как избежать: внимательно читайте условие. Если сумма в миллионах, ответ пишите в миллионах.
---
8. Бонус: чек-лист для задания №17
Перед тем как сдавать экзамен, проверьте себя:
· Понимаю ли разницу между аннуитетным и дифференцированным платежом?
· Умею ли переводить проценты в доли?
· Знаю ли формулу сложного процента?
· Могу ли составить функцию прибыли и найти ее максимум?
· Проверяю ли единицы измерения в ответе?
---
Сохраните эту статью в закладки, чтобы перед экзаменом быстро повторить основные типы экономических задач.
А в комментариях напишите: какой тип экономических задач вызывает у вас больше всего трудностей? Разберем его подробнее!
---
Подпишитесь на канал, чтобы не пропустить:
· Разбор задания №13 (тригонометрия)
· Разбор задания №15 (неравенства)
· Разбор задания №19 (теория чисел)
· Новости ФИПИ и изменения в экзаменах