Семь задач. Семь уровней. Первая - на 10 секунд. Последняя заставит задуматься на полчаса. Между ними - ловушки, в которые попадают даже те, кто уверен в своей логике.
Правило одно: не подглядывай ответ, пока не попробуешь сам.
Уровень 1. Разминка
У отца пять дочерей. У каждой дочери есть брат. Сколько всего детей?
Большинство выпаливает: десять. Пять дочерей и пять братьев. Но нет.
Ответ: шестеро. Пять дочерей и один брат - он общий у всех сестёр. Задача на внимательность, не на арифметику.
Уровень 2. Лёгкая
Сейчас полночь, за окном льёт дождь. Через 72 часа будет солнечная погода?
Хочется прикинуть прогноз. Но ловушка в другом.
Ответ: через 72 часа снова будет полночь. Какая солнечная погода в темноте? Солнца на небе точно не будет - независимо от метеорологии.
Уровень 3. Средняя
Два отца и два сына вместе поймали трёх рыб. Каждому досталось ровно по одной. Как такое возможно?
Кажется, что трёх рыб на троих не разделить, если людей должно быть четверо.
Ответ: их трое - дед, отец и сын. Отец - одновременно сын деду и отец мальчику. Два отца, два сына, три человека.
Уровень 4. Хитрая
Мальчик с собакой выходит из деревни А в деревню Б. Расстояние между деревнями - 4 километра. Одновременно из Б навстречу шагает девочка. Оба идут со скоростью 4 км/ч.
Собака срывается бежать навстречу девочке со скоростью 12 км/ч. Добежав - разворачивается к мальчику. Добежав - снова к девочке. И так мечется туда-сюда, пока мальчик и девочка не встретятся.
Какое расстояние пробежит собака?
Не пытайся считать каждый отрезок. Это ловушка - геометрическая прогрессия, бесконечный ряд. Перельман учил решать такие задачи проще.
Ответ: мальчик и девочка идут навстречу друг другу. Суммарная скорость сближения - 8 км/ч. Расстояние 4 км. Значит встретятся через полчаса. Всё это время собака бежит без остановки со скоростью 12 км/ч. За полчаса она пробежит ровно 6 километров. Всё. Никаких рядов.
Уровень 5. Непростая
Представь комнату со ста пронумерованными ящиками. Все закрыты. Заходит первый человек - открывает каждый ящик. Второй - закрывает каждый второй - второй, четвёртый, шестой и так далее. Третий - переключает каждый третий: открытый закрывает, закрытый открывает. Четвёртый - каждый четвёртый. И так все сто человек.
Какие ящики останутся открытыми?
Подсказка: подумай, сколько раз переключается конкретный ящик. Кто именно его трогает?
Ответ: ящик переключается столько раз, сколько у его номера делителей. Ящик №12 переключат человек 1, 2, 3, 4, 6 и 12 - шесть раз. Чётное число переключений - ящик закрыт.
А вот ящик №9 переключат человек 1, 3 и 9 - три раза. Нечётное число - ящик открыт.
У какого числа нечётное количество делителей? Только у полных квадратов. Потому что делители обычно ходят парами - например, у двенадцати это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. А у квадратов один делитель - корень - умножается сам на себя и считается один раз.
Открытыми останутся ящики: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Ровно десять штук - все полные квадраты.
Уровень 6. Сложная
Перед тобой три двери. За одной - приз. За двумя другими - пусто. Ты выбираешь дверь. Ведущий, который знает, где приз, открывает одну из оставшихся пустых дверей. Предлагает: хочешь поменять выбор?
Стоит ли менять?
Ответ: да, менять нужно обязательно. При смене вероятность выигрыша - 2/3. Без смены - 1/3. Это парадокс Монти Холла, и он ломает интуицию даже математикам. Когда ведущий открывает пустую дверь, он не делит шансы поровну - он перекидывает свои 2/3 на оставшуюся дверь.
Уровень 7. Для настоящих
Три мудреца стоят в ряд - каждый видит только тех, кто впереди. Из пяти колпаков - три белых и два чёрных - каждому надели по одному. Задний видит двоих, средний - одного, передний - никого.
Задний говорит: не знаю, какой у меня колпак. Средний слышит это и тоже говорит: не знаю. Передний слышит обоих - и уверенно называет свой цвет.
Какой у переднего колпак и как он догадался?
Ответ: белый. Рассуждение переднего: если бы задний видел два чёрных - он бы точно знал, что у него белый - ведь чёрных всего два. Раз не знает - значит впереди не два чёрных. Средний это тоже понимает. Если бы средний видел перед собой чёрный колпак - он бы заключил, что у него белый - два чёрных впереди уже исключены, а один он видит перед собой. Раз средний тоже не знает - передний не чёрный. Значит - белый.
А вы знали?
Задачу про собаку между пешеходами обожал Джон фон Нейман - один из величайших математиков XX века. Когда ему её задали, он выдал ответ мгновенно. «Вы знали короткий путь?» - спросили его. «Какой короткий путь? - удивился фон Нейман. - Я просуммировал ряд в уме».
Перельман включал похожие задачи в свои книги именно потому, что они учат главному: прежде чем считать - подумай, что именно нужно посчитать. Часто задача проще, чем кажется. Нужно только посмотреть с правильной стороны.
Что далее
На следующей неделе - природа и наука: молния и гром, скользкий лёд, зелёные листья.
Если вы дочитали до конца - вам точно сюда. Подпишитесь, чтобы не потерять канал! Каждый день - одна задача, один фокус или один факт, всегда есть повод удивиться.
Читайте также:
Канал «А вы знали?» - задачи, фокусы и наука. Каждый день - повод удивиться.
#перельман #авызнали #задачиперельмана #головоломка #задача