#ЕГЭ #Математика #Профиль #Неравенства #МетодИнтервалов #Задание15
Задание №15 в профильном ЕГЭ по математике — это неравенство. Чаще всего логарифмическое, показательное или смешанное. Но есть хорошая новость: почти все они решаются одним универсальным способом — методом интервалов.
Многие ученики теряют баллы не потому, что не знают формул, а потому что путаются в знаках, забывают про ОДЗ или неправильно расставляют точки на прямой.
В этой статье разберем пошаговый алгоритм, который работает для любых неравенств. Сохраняйте в закладки — перед экзаменом просто пролистаете и вспомните порядок действий.
1. Что требуется в задании №15
В задании №15 дано неравенство. Это может быть:
· логарифмическое неравенство
· показательное неравенство
· иррациональное неравенство
· неравенство с модулем
· смешанный тип (например, логарифм плюс дробь)
Нужно решить неравенство — найти все значения x, при которых оно выполняется. Ответ записывается в виде промежутка или объединения промежутков.
Задание оценивается в 2 балла. Частая ошибка: ученики правильно решают неравенство, но забывают про ОДЗ и теряют балл.
2. Универсальный алгоритм метода интервалов
Эти 5 шагов работают для любого неравенства. Запомните их как таблицу умножения.
Шаг 1. Найти ОДЗ (область допустимых значений)
Запишите все ограничения, которые есть в неравенстве:
· под корнем четной степени — неотрицательное выражение
· в знаменателе — выражение не равно нулю
· под знаком логарифма — выражение строго больше нуля
· основание логарифма — больше нуля и не равно единице
Без ОДЗ решение считается неполным, и балл могут снизить.
Шаг 2. Перенести всё в левую часть
В правой части должен остаться ноль. То есть привести неравенство к виду f(x) > 0 (или < 0, ≥ 0, ≤ 0).
Шаг 3. Разложить левую часть на множители
Это самый важный шаг. Нужно представить f(x) в виде произведения множителей вида (x - a) или выражений, которые не меняют знак (например, x² + 1 всегда положительно).
Для логарифмических и показательных неравенств нужно сначала сделать замену или прологарифмировать.
Шаг 4. Найти нули каждого множителя
Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни. Это будут точки, в которых выражение может менять знак.
Шаг 5. Отметить точки на числовой прямой и определить знаки
Наносим на прямую все найденные корни и точки из ОДЗ (где выражение не определено). Точки из ОДЗ всегда выкалываются (пустые кружки). Корни неравенства — закрашенные, если неравенство нестрогое (≥ или ≤), и пустые, если строгое (> или <).
Определяем знак на каждом интервале. Для этого берем любое число из интервала и подставляем в левую часть неравенства.
Выбираем интервалы с нужным знаком. Записываем ответ.
3. Пример 1: логарифмическое неравенство
Решите неравенство: log₂(x - 1) ≤ 3
Шаг 1. ОДЗ
Под знаком логарифма должно быть строго положительное выражение:
x - 1 > 0 → x > 1
Шаг 2. Приводим к виду f(x) ≤ 0
log₂(x - 1) ≤ 3
Представим 3 как логарифм: 3 = log₂8
log₂(x - 1) ≤ log₂8
Так как основание логарифма 2 > 1, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
x - 1 ≤ 8
Шаг 3. Решаем неравенство
x ≤ 9
Шаг 4. Учитываем ОДЗ
x > 1 и x ≤ 9
Ответ: (1; 9]
4. Пример 2: показательное неравенство с заменой
Решите неравенство: 4ˣ - 2ˣ⁺¹ - 8 > 0
Шаг 1. ОДЗ
Показательная функция определена для всех x. ОДЗ — все действительные числа.
Шаг 2. Приводим к одинаковому основанию
4ˣ = (2²)ˣ = 2²ˣ
2ˣ⁺¹ = 2 · 2ˣ
Неравенство принимает вид:
2²ˣ - 2 · 2ˣ - 8 > 0
Шаг 3. Замена
Пусть t = 2ˣ, где t > 0 (показательная функция всегда положительна).
Получаем: t² - 2t - 8 > 0
Шаг 4. Решаем квадратное неравенство
t² - 2t - 8 = 0 → корни: t = 4 и t = -2
Парабола ветвями вверх, знак плюс на интервалах (-∞; -2) и (4; +∞).
Но t > 0, поэтому нас интересует только t > 4.
Шаг 5. Возвращаемся к замене
2ˣ > 4 → 2ˣ > 2² → x > 2
Ответ: (2; +∞)
5. Пример 3: дробно-рациональное неравенство
Решите неравенство: (x - 1)/(x + 2) ≤ 0
Шаг 1. ОДЗ
Знаменатель не равен нулю: x + 2 ≠ 0 → x ≠ -2
Шаг 2. Левая часть уже готова (ноль справа)
Шаг 3. Находим нули числителя и знаменателя
Числитель: x - 1 = 0 → x = 1
Знаменатель: x + 2 = 0 → x = -2 (выкалываем всегда)
Шаг 4. Отмечаем точки на прямой
x = -2 — пустой кружок (из ОДЗ)
x = 1 — закрашенный кружок (неравенство нестрогое, числитель может быть равен нулю)
Шаг 5. Определяем знаки
Берем пробные точки:
· на интервале (-∞; -2) возьмем x = -3: (-3 - 1)/(-3 + 2) = (-4)/(-1) = 4 → плюс
· на интервале (-2; 1) возьмем x = 0: (0 - 1)/(0 + 2) = (-1)/2 → минус
· на интервале (1; +∞) возьмем x = 2: (2 - 1)/(2 + 2) = 1/4 → плюс
Нам нужен знак минус (≤ 0).
Ответ: (-2; 1]
---
6. Пример 4: логарифмическое неравенство с переменным основанием (самое сложное)
Решите неравенство: logₓ₊₁(2x + 3) > 1
Шаг 1. ОДЗ
Для логарифма с основанием, зависящим от x, нужно выполнить три условия:
· Выражение под логарифмом строго больше нуля: 2x + 3 > 0 → x > -1,5
· Основание логарифма больше нуля: x + 1 > 0 → x > -1
· Основание логарифма не равно единице: x + 1 ≠ 1 → x ≠ 0
Объединяем: x > -1, x ≠ 0
Шаг 2. Рассматриваем два случая для основания
Логарифмическая функция ведет себя по-разному в зависимости от основания:
· Если основание больше 1, функция возрастает, знак неравенства сохраняется.
· Если основание от 0 до 1, функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный.
Случай 1. Основание больше 1: x + 1 > 1 → x > 0
Тогда:
logₓ₊₁(2x + 3) > logₓ₊₁(x + 1)
Так как основание больше 1, знак неравенства сохраняется:
2x + 3 > x + 1 → x > -2
С учетом условия x > 0 получаем: x > 0
Случай 2. Основание от 0 до 1: 0 < x + 1 < 1 → -1 < x < 0
Тогда знак неравенства меняется на противоположный:
2x + 3 < x + 1 → x < -2
С учетом условия -1 < x < 0 — нет пересечения (x < -2 не попадает в этот интервал).
Шаг 3. Объединяем с ОДЗ
Из первого случая получили x > 0. ОДЗ требует x > -1 и x ≠ 0. Условие x > 0 полностью удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: (0; +∞)
7. Типичные ошибки в задании №15
Ошибка 1. Забывают про ОДЗ
Это самая частая ошибка. Особенно в логарифмических и дробных неравенствах. Без ОДЗ решение считается неполным.
Как избежать: всегда начинайте решение с записи ОДЗ. Отдельной строкой вверху.
Ошибка 2. Не выкалывают точки из ОДЗ
Точки, где выражение не определено (знаменатель равен нулю, под логарифмом ноль), всегда выкалываются, даже если неравенство нестрогое.
Как избежать: при отметке на прямой сразу ставьте пустые кружки для ОДЗ.
Ошибка 3. Путают знаки при переносе логарифма
Если основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется. Это забывают.
Как избежать: перед решением логарифмического неравенства всегда проверяйте основание.
Ошибка 4. Неправильно расставляют знаки на интервалах
Особенно когда множителей много.
Как избежать: не полагайтесь на «чередование», подставляйте пробное число на каждом интервале. Это займет 30 секунд, но спасет от ошибки.
Ошибка 5. Теряют корни при замене
При замене t = 2ˣ нужно помнить, что t > 0. Полученные отрицательные t отбрасываем, но про это забывают.
Как избежать: после замены всегда записывайте ограничение t > 0.
8. Бонус: чек-лист для задания №15
Перед тем как сдавать экзамен, проверьте себя:
Сохраните эту статью в закладки, чтобы перед экзаменом быстро повторить алгоритм.
А в комментариях напишите: какой тип неравенств вызывает у вас больше всего трудностей? Разберем его подробнее!
---
Подпишитесь на канал, чтобы не пропустить:
· Разбор задания №13 (тригонометрия)
· Разбор задания №17 (экономическая задача)
· Разбор задания №19 (теория чисел)
· Новости ФИПИ и изменения в экзаменах