#ЕГЭ #Математика #Профиль #Тригонометрия #Задание13
Задание №13 в профильном ЕГЭ по математике — это тригонометрическое уравнение. Многие ученики паникуют при виде слов «синус», «косинус» и особенно «отбор корней на окружности».
Но есть хорошая новость: все задания №13 решаются по единому алгоритму. Если выучить 5 основных формул и понять, как работает окружность, этот номер перестанет быть страшным и начнет приносить заветный балл.
В этой статье разберем пошаговую стратегию решения. Сохраняйте в закладки — перед экзаменом просто пролистаете и вспомните порядок действий.
1. Что требуется в задании №13
В задании №13 дано тригонометрическое уравнение. Нужно сделать две вещи:
Первое: решить уравнение — найти все корни (обычно это серии решений с буквой n, k, m).
Второе: отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку (например, от 0 до π или от -π/2 до 3π/2).
Задание оценивается в 2 балла: 1 балл за решение уравнения, 1 балл за отбор корней.
2. Пять формул, которые нужно знать наизусть
Без них решить тригонометрическое уравнение невозможно. Выучите их как таблицу умножения.
Основное тригонометрическое тождество:
sin²x + cos²x = 1
Синус двойного угла:
sin2x = 2 sinx cosx
Косинус двойного угла (три варианта — любой полезен):
cos2x = cos²x - sin²x
cos2x = 2cos²x - 1
cos2x = 1 - 2sin²x
Формулы приведения (главное правило):
Если под знаком тригонометрической функции стоит π/2, 3π/2 — функция меняется (sin ↔ cos, tg ↔ ctg). Если π, 2π — не меняется. Знак определяется по исходной четверти.
Пример: sin(π/2 + x) = cosx (минус не ставим, так как во второй четверти синус положителен)
Частные случаи (самые частые):
· sinx = 0 → x = πn
· cosx = 0 → x = π/2 + πn
· sinx = 1 → x = π/2 + 2πn
· sinx = -1 → x = -π/2 + 2πn
· cosx = 1 → x = 2πn
· cosx = -1 → x = π + 2πn
3. Пошаговый алгоритм решения
Любое тригонометрическое уравнение решается по одному и тому же плану.
Шаг 1. Упростить уравнение с помощью формул
Привести всё к одинаковым аргументам (например, везде сделать x, а не 2x). Использовать формулы двойного угла, основное тождество, формулы приведения.
Шаг 2. Сделать замену (если нужно)
Если уравнение свелось к квадратному относительно sinx или cosx — вводим замену t = sinx (или t = cosx) и решаем квадратное уравнение.
Шаг 3. Вернуться к замене и решить простейшие уравнения
Получили sinx = a, cosx = a, tgx = a. Решаем каждое по формулам.
Шаг 4. Записать серии корней
Получилось несколько серий с n, k, m.
Шаг 5. Отобрать корни на промежутке
Используем тригонометрическую окружность или двойное неравенство.
4. Пример 1: уравнение, сводящееся к квадратному
Решите уравнение: 2sin²x + sinx - 1 = 0
Найдите корни на промежутке [0; π/2].
Шаг 1. Замена
Пусть t = sinx. Тогда уравнение принимает вид: 2t² + t - 1 = 0
Шаг 2. Решаем квадратное уравнение
Дискриминант: D = 1 + 8 = 9
Корни: t = (-1 ± 3) / 4
t₁ = 2/4 = 1/2
t₂ = (-4)/4 = -1
Шаг 3. Возвращаемся к замене
Получили два уравнения:
sinx = 1/2
sinx = -1
Шаг 4. Решаем простейшие уравнения
sinx = 1/2 → x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn
sinx = -1 → x = -π/2 + 2πn
Шаг 5. Отбираем корни на промежутке [0; π/2]
На окружности промежуток [0; π/2] — это первая четверть.
Из первой серии x = π/6 + 2πn: при n=0 получаем π/6 (примерно 30°). Это попадает в промежуток. При n=1 получаем π/6 + 2π — уже больше π/2.
Из второй серии x = 5π/6 + 2πn: при n=0 получаем 5π/6 (примерно 150°). Это больше π/2, не подходит. При n=-1 получаем 5π/6 - 2π = -7π/6 — отрицательное, не подходит.
Из третьей серии x = -π/2 + 2πn: при n=0 получаем -π/2 — не подходит (меньше 0). При n=1 получаем -π/2 + 2π = 3π/2 — больше π/2.
Ответ: x = π/6
5. Пример 2: с использованием формул двойного угла
Решите уравнение: cos2x + sin²x = 0,5
Найдите корни на промежутке [0; π].
Шаг 1. Применяем формулу косинуса двойного угла
Используем вариант: cos2x = 1 - 2sin²x
Подставляем: (1 - 2sin²x) + sin²x = 0,5
Упрощаем: 1 - sin²x = 0,5
-sin²x = 0,5 - 1
-sin²x = -0,5
sin²x = 0,5
Шаг 2. Извлекаем корень
sinx = ±√(0,5) = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2
Шаг 3. Решаем уравнения
sinx = √2/2 → x = π/4 + 2πn или x = 3π/4 + 2πn
sinx = -√2/2 → x = -π/4 + 2πn или x = -3π/4 + 2πn
Шаг 4. Отбираем корни на промежутке [0; π]
Промежуток [0; π] — это верхняя полуплоскость (от 0 до 180°).
Подходят:
· x = π/4 (n=0)
· x = 3π/4 (n=0)
· x = -π/4 + 2π = 7π/4? (при n=1) — это больше π (7π/4 ≈ 315°), не подходит
· x = -3π/4 + 2π = 5π/4 (при n=1) — это больше π (225°), не подходит
Также проверим x = -π/4 + 2πn при n=1: получили 7π/4 — не подходит. При n=0: -π/4 — отрицательное.
Ответ: π/4; 3π/4
6. Как отбирать корни с помощью окружности (главный лайфхак)
Многие боятся отбора корней, но на самом деле это просто, если пользоваться окружностью.
Алгоритм:
1. Нарисуйте тригонометрическую окружность (можно мысленно).
2. Отметьте заданный промежуток (например, [0; π] — это верхняя половина окружности).
3. Нанесите все полученные серии корней (π/6, π/2, 5π/6 и т.д.).
4. Смотрите, какие точки попали в нужную область.
Таблица для быстрого перевода:
· 0° = 0 радиан
· 30° = π/6
· 45° = π/4
· 60° = π/3
· 90° = π/2
· 120° = 2π/3
· 135° = 3π/4
· 150° = 5π/6
· 180° = π
· 270° = 3π/2
· 360° = 2π
7. Типичные ошибки в задании №13
Ошибка 1. Путают формулы синуса и косинуса двойного угла
Как избежать: выпишите три варианта формулы cos2x на отдельный лист и держите перед глазами, пока решаете.
Ошибка 2. Забывают про знак «±» при извлечении корня
Как избежать: если получили sin²x = a, всегда пишите sinx = ±√a.
Ошибка 3. Неправильно определяют знак при формулах приведения
Как избежать: перед применением формул приведения нарисуйте четверть и определите знак исходной функции.
Ошибка 4. Теряют серии корней
Как избежать: для sinx = a всегда записывайте ДВЕ серии (x = arcsin a + 2πn И x = π - arcsin a + 2πn).
Ошибка 5. Путают πn и 2πn
Как избежать:
· Если период функции 2π (sinx, cosx) — пишем +2πn
· Если период π (tgx, ctgx) — пишем +πn
· Если в ответе корни совпадают — используем +πn
8. Бонус: чек-лист для задания №13
Перед тем как сдавать экзамен, проверьте себя:
Сохраните эту статью в закладки, чтобы перед экзаменом быстро повторить алгоритм.
А в комментариях напишите: какое тригонометрическое уравнение кажется вам самым сложным? Разберем его подробнее!
---
Подпишитесь на канал, чтобы не пропустить:
· Разбор задания №15 (неравенства)
· Разбор задания №17 (экономическая задача)
· Разбор задания №19 (теория чисел)
· Новости ФИПИ и изменения в экзаменах