Задачи на совместную работу встречаются в ОГЭ не реже, чем задачи на движение

Задачи на совместную работу встречаются в ОГЭ не реже, чем задачи на движение. Их логика проста: несколько человек, труб или насосов делают одну общую работу. Главное — понять, что их силы складываются. В статье разберем два типа: простой (бассейн) и сложный (с разницей в деталях).

Три кита: работа, время, производительность

В основе любой задачи лежат три величины:

· A — объем работы (литры, детали, грядки, бассейны). Часто принимается за 1 (весь заказ).

· t — время выполнения работы.

· P — производительность (скорость работы). Показывает, сколько работы сделано за единицу времени.

Золотая формула:

A = P × t

Из нее легко выразить:

P = A / t (производительность = работа ÷ время)

t = A / P (время = работа ÷ производительность)

Ключевое правило для совместной работы

Когда несколько объектов работают одновременно, их производительности складываются:

P_общ = P₁ + P₂ + ...

Время совместной работы находится по формуле:

t_совм = A / (P₁ + P₂)

Тип 1: Заполнение бассейна (простой)

Условие: Первая труба заполняет бассейн за 2 часа, вторая — за 3 часа. За сколько часов они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение:

1. Объем работы (весь бассейн) принимаем за 1.

2. Производительность первой трубы: P₁ = 1/2 (бассейна в час).

3. Производительность второй трубы: P₂ = 1/3.

4. Общая производительность: P_общ = 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

5. Время совместной работы: t = A / P_общ = 1 / (5/6) = 6/5 = 1,2 часа.

Ответ: 1,2 часа (или 1 час 12 минут).

Ловушка: Не складывайте время! Распространенная ошибка — попытаться найти среднее арифметическое (2+3)/2 = 2,5. Это неверно.

Тип 2: Заказ на детали (с разницей в производительности)

Этот тип сложнее. Здесь один рабочий делает больше деталей в час и тратит меньше времени.

Условие: Первый рабочий за час делает на 11 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ из 264 деталей на 12 часов быстрее. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение:

1. Обозначим неизвестное. Пусть x деталей в час — производительность второго рабочего. Тогда производительность первого: x + 11 деталей/час.

2. Время выполнения заказа:

· Второй рабочий: t₂ = 264 / x (часов).

· Первый рабочий: t₁ = 264 / (x + 11) (часов).

3. Из условия: первый работает на 12 часов быстрее. Значит, его время меньше.

Уравнение: t₂ — t₁ = 12.

264 / x — 264 / (x + 11) = 12

4. Решаем уравнение. Делим обе части на 12 (для упрощения):

22 / x — 22 / (x + 11) = 1

Приводим к общему знаменателю:

22(x + 11) — 22x = x(x + 11)

22x + 242 — 22x = x² + 11x

242 = x² + 11x

x² + 11x — 242 = 0

5. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:

D = 11² — 4×1×(-242) = 121 + 968 = 1089

√D = 33

x = (-11 + 33) / 2 = 22 / 2 = 11

(Отрицательный корень отбрасываем).

6. Ответ: 11 деталей в час делает второй рабочий.

Пошаговый алгоритм для совместной работы

1. Определите, что принимаем за 1. Если не сказано иначе, весь объем работы = 1.

2. Выразите производительности. Если время работы известно: P = 1/t. Если производительность неизвестна, обозначьте ее через x.

3. Сложите производительности для совместной работы.

4. Составьте уравнение. Варианты:

· «Вместе сделали за 3 часа»: (P₁ + P₂) × 3 = 1.

· «Один работал на 2 часа дольше»: разность времен = 2.

· «Сначала работал один, потом они вместе»: P₁×t₁ + (P₁+P₂)×t₂ = 1.

5. Решите уравнение. Оно часто сводится к квадратному (как в примере с деталями) или к линейному (как с бассейном).

6. Запишите ответ. Внимательно прочитайте, что именно требуется найти (производительность, время или объем).

Резюме

Задачи на совместную работу боятся только одного: вашей системности. Запомните формулу A = P × t, научитесь складывать производительности и выражать время через работу и скорость. Тогда задание №21 перестанет быть проблемой и принесет вам заветные баллы.