Задание №21 из второй части ОГЭ по математике — это текстовая задача, которая при правильном подходе приносит 2 заветных балла. Самый распространенный сценарий — встречное движение. В отличие от задач на движение по кругу или по воде, здесь все строится на интуитивно понятной логике: два объекта идут навстречу друг другу и встречаются. Но дьявол, как всегда, в деталях.
В чем суть встречного движения?
Когда два объекта движутся навстречу друг другу, происходит главное: они сближаются. Расстояние между ними уменьшается со скоростью, равной сумме их скоростей. Это ключевая идея.
Если они стартуют одновременно и встречаются в какой-то точке, то:
· Время в пути у обоих одинаково.
· Сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию между пунктами отправления.
Универсальный алгоритм решения
Чтобы не запутаться, всегда действуйте по шагам:
1. Прочитайте условие и определите неизвестное. Обычно это скорость одного из объектов (реже — время или расстояние).
2. Нарисуйте схему. Отрезок, точки А и В, стрелочки навстречу. Это помогает визуализировать, что сумма их путей — это весь путь.
3. Составьте таблицу. Заполните известные величины, неизвестное обозначьте через x.
Скорость (км/ч) Время (ч) Расстояние (км)
Первый x t x·t
Второй (x + a) или (x – a) t (x ± a)·t
1. Составьте уравнение. Сложите расстояния и приравняйте к общему пути.
Разбор конкретного примера
Рассмотрим задачу, которая регулярно встречается в вариантах ОГЭ.
Условие: Из двух городов, расстояние между которыми 540 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля на 20 км/ч больше скорости второго. Найдите скорость второго автомобиля, если автомобили встретились через 3 часа.
Шаг 1: Обозначаем неизвестное.
Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч.
Тогда скорость первого (он быстрее) равна x + 20 км/ч.
Шаг 2: Заполняем таблицу.
Скорость (км/ч) Время (ч) Расстояние (км)
1-й автомобиль x + 20 3 3·(x + 20)
2-й автомобиль x 3 3·x
Шаг 3: Составляем уравнение.
Сумма расстояний, которые проехали оба автомобиля до встречи, равна расстоянию между городами (540 км).
3·(x + 20) + 3·x = 540
Шаг 4: Решаем уравнение.
Раскрываем скобки:
3x + 60 + 3x = 540
6x + 60 = 540
6x = 540 — 60
6x = 480
x = 480 / 6
x = 80
Шаг 5: Записываем ответ.
Мы нашли x — это скорость второго автомобиля.
Ответ: 80 км/ч.
Что делать, если они вышли не одновременно?
Иногда условие усложняется: один выехал раньше, другой позже, или один сделал остановку. В этом случае время в таблице становится разным.
Алгоритм для такого случая:
1. Обозначьте время движения второго (позднего) объекта как t.
2. Если первый выехал на 2 часа раньше, его время в пути будет t + 2.
3. Если первый сделал остановку на 1 час, то из его общего времени вычитается время остановки.
4. Уравнение составляется так же: сумма расстояний = общий путь.
Типичные ловушки
1. Единицы измерения. Если скорость в км/ч, время должно быть в часах. 30 минут — это 0,5 часа, а не 30.
2. Не тот неизвестный. Внимательно читайте, что требуется найти. Иногда находят скорость первого, а спрашивают скорость второго. Перепроверяйте.
3. Несколько встреч. В задачах из второй части иногда спрашивают, через сколько времени они встретятся, если едут из разных точек с разной скоростью. Формула времени до встречи:
t = S / (v₁ + v₂)
Резюме
Встречное движение — самый благодатный тип задач для подготовки. Он не требует сложных преобразований, достаточно аккуратно заполнить таблицу и сложить пути. Помните главное: при встречном движении время одинаковое, а расстояния складываются. Освоив этот алгоритм, вы гарантированно получите заветные баллы за задание №21.