Сколько чётных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 8?

Слушайте, комбинаторика — штука хитрая, но чертовски увлекательная, если в ней разобраться без лишней зауми. Представьте, что перед вами пять ячеек и горсть цифр. Задача кажется простой: нужно понять, сколько чётных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 8? Вроде бы бери да подставляй, но тут, как назло, зарыто несколько «собак», о которые легко споткнуться.

Разбираем правила игры

Давайте сразу договоримся, что цифры у нас не одноразовые. Если в условии не сказано обратное, мы исходим из того, что их можно дублировать сколько душе угодно. Итак, перед нами наш «набор инструментов»: 0, 3, 5, 6 и 8. Всего пять вариантов. Но вот незадача — число-то должно быть чётным! А это значит, что на последнем месте (в разряде единиц) может стоять только кто-то из «своих»: 0, 6 или 8. Опаньки, выбор-то сузился до трёх вариантов.

Кстати, есть ещё один нюанс, который новички вечно упускают из виду. Число не может начинаться с нуля. Ну, согласитесь, «03568» — это что угодно (номер шкафчика или пароль), но никак не пятизначное число в классическом понимании. Так что на первую позицию у нас претендуют только четверо смельчаков: 3, 5, 6 и 8.

Считаем на пальцах (и в уме)

Теперь, когда правила ясны, давайте перемножать. На первое место ставим любую из 4 цифр (кроме нуля). На второе, третье и четвёртое места мы вольны влепить любую из пяти цифр — тут ограничений нет. Это получается 5×5×55 \times 5 \times 5, или 125 комбинаций для «серединки». А на десерт у нас последняя цифра, которая обязана быть чётной. Как мы уже выяснили, это либо 0, либо 6, либо 8. То есть 3 варианта.

Перемножаем всё это дело: 4×5×5×5×34 \times 5 \times 5 \times 5 \times 3. Считаем: 4×1254 \times 125 — это 500, и ещё на 3 — получаем 1500. Вот и ответ на вопрос: сколько чётных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 8? Целых полторы тысячи! Солидно, не так ли?

А если цифры не повторяются?

Тут уже начинается настоящая «головоломка». Если цифры должны быть уникальными, логика меняется. Придётся рассматривать два сценария: когда число заканчивается на ноль и когда оно заканчивается на 6 или 8. Ведь если ноль ушёл «в хвост», он уже не мешается в начале!

1. Если в конце 0 (1 вариант): на первое место выбираем из 4 оставшихся, на второе — из 3, на третье — из 2, на четвёртое — 1. Итого: 4×3×2×1=244 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.
2. Если в конце 6 или 8 (2 варианта): на первое место нельзя 0 и нельзя ту, что в конце (остаётся 3 варианта). На второе место — снова 3 (вернулся ноль), на третье — 2, на четвёртое — 1. Итого: 3×3×2×1×2=363 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 = 36.

Складываем 24 и 36, получаем 60.

Видите, как сильно меняется результат от одного маленького условия? В этом и прелесть математики. Так что, когда вас в следующий раз спросят: «Сколько чётных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 8?», — не забудьте уточнить детали. Удачи в расчётах, и пусть мозг всегда работает как швейцарские часы!