Как найти основания равнобедренной трапеции, описанной вокруг окружности?

Знаете, бывает сидишь над учебником геометрии, и кажется, что эти фигуры просто издеваются над тобой. Вроде всё понятно: вот тебе четыре угла, вот стороны, но стоит добавить туда вписанную окружность, и голова идет кругом. Но не стоит вешать нос! На самом деле, задачка-то с изюминкой, и если знать один малюсенький секрет, всё решается на раз-два.

В чем главная фишка такой трапеции?

Прежде чем ломать голову над тем, как найти основания равнобедренной трапеции, описанной вокруг окружности, нужно вспомнить одно железное правило. Если в четырехугольник можно впихнуть круг так, чтобы он касался всех сторон, то суммы его противоположных сторон будут равны. В нашем случае это значит, что сумма оснований (пусть будут aa и bb) — это то же самое, что сумма двух боковых сторон (c+cc + c).

Следовательно, a+b=2ca + b = 2c. Вот она, ниточка, за которую мы будем тянуть!

Как найти основания равнобедренной трапеции, описанной вокруг окружности, через высоту и радиус?

Тут в игру вступает высота трапеции (hh), которая, между прочим, аккурат равна диаметру нашей окружности (2r2r). Если вы знаете радиус — считайте, полдела сделано. Глядя на чертеж (даже если он нацарапан на полях тетрадки), можно заметить прямоугольный треугольник. Его образуют высота, боковая сторона и кусочек нижнего основания.

Кстати, этот самый «кусочек» нижнего основания равен (a−b)/2(a - b) / 2. Используя старую добрую теорему Пифагора и связь между сторонами, мы выходим на финишную прямую. Зная, что боковая сторона cc — это среднее арифметическое оснований, можно составить систему уравнений, которая не оставит шансов неизвестным.

Почему это проще, чем кажется?

Иногда школьники путаются в синусах и косинусах, но, честно говоря, всё гораздо прозаичнее. Если вам дан угол при основании, то задача превращается в легкую прогулку. Помните:

1. Сумма оснований равна сумме боковушек.
2. Высота равна двум радиусам.
3. Боковая сторона выражается через высоту и синус угла.

Ой, чуть не забыла! Есть еще одна классная формула: если трапеция описана, то её площадь можно найти как произведение полупериметра на радиус. Или, что еще круче, через произведение оснований, если мы работаем с их длинами под определенным соусом.

В конечном счете, вопрос о том, как найти основания равнобедренной трапеции, описанной вокруг окружности, сводится к умению жонглировать этими простыми фактами. Главное — не бояться чертить дополнительные линии. Проведите высоту из тупого угла, и ответ сам прыгнет к вам в руки. Геометрия — она ведь как конструктор: главное, чтобы детали совпали! Так что, берем циркуль, линейку и вперед, щелкать эти задачки как орешки.