В начале 1960-х Запорожский автозавод (тогда — «Коммунар») приступил к самостоятельной разработке семейства грузовых автомобилей на базе агрегатов перспективного легкового «Запорожца» нового поколения. Инициатива исходила от конструкторского бюро завода под руководством главного конструктора Юрия Николаевича Сорочкина; в проекте участвовал ведущий конструктор Лев Мурашов, ранее работавший на МЗМА и принимавший участие в создании «Москвича-444» — прототипа «Запорожца». Идею поддержал директор предприятия, и в 1961 году был изготовлен первый образец — бортовая грузовая машина короткокапотной компоновки ЗАЗ-970, получившая неофициальное прозвище «Точило»
Технической особенностью семейства стало сохранение агрегатной базы легкового «Запорожца». Двигатель воздушного охлаждения МеМЗ-965 рабочим объемом 0,887 л и мощностью 27 л.с. размещался сзади, привод осуществлялся на задние колеса. Подвеска — независимая, торсионная спереди и пружинная сзади, унифицированная с готовившимся к производству ЗАЗ-966. Максимальная скорость составляла около 70 км/ч, расход топлива — 7–8 л на 100 км. Грузоподъемность варьировалась: 350 кг для бортовой версии и фургона, до 400 кг для пикапа.
Конструкторы стремились к максимально возможной унификации с серийным «Запорожцем»: двигатель, коробка передач, элементы подвески, рулевого управления и электрооборудования практически полностью совпадали с легковой моделью.
Заднемоторная компоновка, заимствованная у легкового автомобиля, создавала для грузовой модификации конструктивное ограничение: двигатель частично выступал в грузовую платформу, что требовало организации доступа через люк в полу. В фургоне ЗАЗ-970Б полезный объем составлял около 2,5 куб. м; грузовой отсек отделялся от кабины глухой перегородкой. Погрузка обеспечивалась двустворчатой дверью с правого борта и дополнительной задней дверью над моторным отсеком. Существовал также вариант с одностворчатыми дверями по обоим бортам.
При этом заднемоторная схема давала и неожиданное преимущество: при загрузке основная масса приходилась на ведущую заднюю ось, увеличивая сцепление колес с дорогой. Благодаря этому даже заднеприводный микрогрузовик демонстрировал хорошую проходимость на грунтовых дорогах и рыхлом покрытии — качество, важное для условий советских городов и сельских дорог начала 1960-х годов.
К 1962 году семейство было расширено: разработали цельнометаллический фургон ЗАЗ-970Б, грузопассажирский микроавтобус ЗАЗ-970В со складывающимися сиденьями на шесть-семь мест включая водителя, а также бортовой пикап ЗАЗ-970Г. Внешний вид автомобилей разрабатывался в заводском бюро архитектурного оформления под руководством Юрия Данилова. В том же году построили несколько полноприводных прототипов ЗАЗ-971, опыт которых впоследствии был использован при создании автомобилей ЛуАЗ.
Машины прошли государственные испытания. Несколько экземпляров передали в опытную эксплуатацию на предприятия Москвы и Киева, где они использовались для обслуживания продовольственных баз и организаций общественного питания. Испытания проводились также на полигонах в Крыму и на острове Хортица. Для сравнительных исследований изучался зарубежный микроавтобус Renault Estafette. По результатам испытаний запорожская разработка показала хорошие показатели проходимости и экономичности.
В начале 1960-х годов в советском автопроме практически отсутствовали легкие коммерческие автомобили грузоподъемностью 300–500 кг: «Москвич-430» был заметно меньше, а УАЗ-450 относился уже к более тяжелому классу. Проект ЗАЗ-970 должен был занять промежуточную нишу городского развозного транспорта — сегмент, который в Европе в то время активно формировался вокруг моделей вроде Volkswagen Transporter и Renault Estafette.
Несмотря на успешные испытания, до серийного производства семейство доведено не было. Производственные мощности завода «Коммунар» оказались полностью загружены выпуском легковых «Запорожцев», а расширение предприятия не последовало. В начале 1960-х годов завод получил военный заказ на доработку плавающего транспортера переднего края, разработанного в НАМИ. В дальнейшем эта машина (ЗАЗ-967) вместе с гражданской версией ЗАЗ-969 была передана для серийного производства на Луцкий автомобильный завод.
Закрытие проекта было связано прежде всего с системой планирования советской промышленности: завод был закреплен за выпуском легковых автомобилей, а запуск новой грузовой линии требовал отдельного решения Госплана и значительных капитальных вложений. В условиях ограниченных ресурсов приоритет был отдан увеличению производства «Запорожцев».
Всего было построено около десяти–пятнадцати опытных экземпляров различных модификаций семейства, однако достоверно сохранившихся автомобилей до настоящего времени не известно. Если бы проект был доведен до серийного производства, советская промышленность могла бы получить один из первых массовых микрогрузовиков городского класса — сегмента, который на Западе начал активно развиваться лишь во второй половине 1960-х годов.