Закономерности, обнаруживаемые в микромире,
коренным образом отличаются от закономерностей,
которым подчиняются макроскопические объекты, т. е.
закономерностей классической физики. Поскольку
непосредственному чувственному восприятию
поддаются лишь макроскопические тела, мы
располагаем наглядными образами только таких тел.
Перенесение этих образов на микроскопические объекты
(например, представление электрона в виде
микроскопического шарика) совершенно неправомерно и
даже вредно. Поэтому лучшее, что можно сделать,
приступая к изучению механики микромира
(квантовой механики), это с самого начала отказаться от
стремления построить наглядные образы изучаемых
объектов и процессов.
В обыденном смысле слово «понять» означает
составить себе наглядный образ либо схему объекта
или процесса. Как это-ни парадоксально звучит, но
квантовую механику нельзя понять в указанном
выше смысле: «...главная задача
физической науки состоит не в том, чтобы снабжать
нас наглядными картинами, а в том, чтобы
формулировать законы, управляющие явлениями, и
использовать эти законы для открытия новых явлений...
В случае атомных явлений нельзя ожидать, что
существует наглядная картина в обычном смысле слова,
в котором под «наглядной» понимается модель,
действующая в основном по классическим принципам.
Можно, однако, расширить смысл слова «картина»
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
так, чтобы включить в него любой способ
рассмотрения основных законов, при котором их взаимная
согласованность становится очевидной. В этом более
широком смысле слова картина атомных явлений
постепенно раскрывается по мере изучения законов
квантовой теории.»1).
Квантовую механику можно облечь в различные
математические формы. Дирак разработал
«векторную» форму квантовой механики. Все формы
квантовой механики эквивалентны — они приводят
к одинаковым физическим результатам и могут быть
преобразованы друг в друга.
Математический аппарат квантовой Механики
очень своеобразен и в общем не прост. Изложенные
обстоятельства, а именно невозможность наглядных
представлений и сложность математического
аппарата, делают квантовую механику трудной наукой.
§ 2. Состояние
Понятие состояния является одним из основных,
исходных в квантовой механике. Поэтому
затруднительно дать безукоризненно строгое его определение.
Дирак вводит понятие состояния следующим
образом: «...Рассмотрим некоторую атомную систему,
состоящую из частиц или тел с определенными
известными нам свойствами (масса, момент инерции
и т. д.); силы взаимодействия между частями этой
системы также известны. Возможны различные
движения, совместимые с законами действия этих сил.
Каждое из таких движений называется состоянием
системы».
Примем определение состояния, данное Дираком,
в качестве предварительного. Полностью содержание
термина «состояние» будет вскрываться в процессе
изложения сути квантовой механики.
Информацию о состоянии микросистемы получают,
производя измерения, т. е. заставляя систему взаи-
*) П. А. М. Дирак. Принципы квантовой механики. — М.:
СОСТОЯНИЕ
модействовать с прибором, который представляет
собой макроскопическую систему. Поэтому результаты
измерений, производимых над микросистемами,
поневоле выражаются в терминах, разработанных для
характеристики макроскопических тел (координата,
импульс, момент импульса, энергия и т. д.). Эти
характеристики носят название динамических переменных.
Свойства микрочастиц коренным образом
отличаются от свойств макроскопических тел. Поэтому
микрочастицам нельзя приписывать динамические
переменные, приписываемые макротелам. Однако при
взаимодействиях с прибором (или природным
макротелом) микрочастица ведет себя так, как если бы она
характеризовалась хотя бы частью названных выше
динамических переменных. Своеобразие свойств
микрочастиц проявляет себя в том, что не для всех
переменных получаются при измерениях определенные,
значения. Существуют, например, такие состояния
электрона, в которых он, взаимодействуя с
макротелами (т. е. при измерениях), ведет себя так, как если
бы он обладал импульсом рх, причем сколько бы раз
мы ни производили измерения над электроном,
находящимся в таком состоянии, каждый раз будет
получаться для рх одинаковое значение. Если же мы
попытаемся определить, положение электрона,
находящегося в том* же состоянии, то для координаты х
с равной вероятностью будут получаться все
значения от —оо до +оо. О таком состоянии электрона
говорят как о состоянии, в котором электрон имеет
определенное значение динамической переменной рх-
Возможны также такие состояния электрона, в
которых он при измерениях (т. е. при взаимодействиях
с макротелами) ведет себя так, как если бы обладал
вполне определенным значением координаты х.
Импульс рх в этих состояниях оказывается совершенно
неопределенным. В этом случае говорят, что электрон
находится в состоянии с определенным значением
координаты х.
Наконец, существуют такие состояния электрона,
в которых ни х, ни рх не имеют определенных
значений. В этом случае при многократных измерениях,
-осуществляемых над электроном в одном из
подобных состояний, будут получаться для х значения,
заключенные в некотором интервале Ах, а для рх —
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
значения, заключенные в интервале Ар*, причем Ах
и Арх связаны соотношением неопределенности Гей-
зенберга:
Ах-Арх>Л/1. (2.1)
Соотношение неопределенности указывает, в
какой мере можно пользоваться понятиями
классической механики в применении к микрочастицам, в
частности, с какой степенью точности можно говорить
о траекториях микрочастиц. Движение по
траектории характеризуется вполне определенными
значениями координат и скорости в каждый момент
времени. Переписав соотношение (2.1) в виде
Ал: • Avx > й/2т,
мы видим, что чем больше масса частицы, тем меньше
.неопределенность ее координат и скорости и,
следовательно, с тем большей точностью применимо к
частице понятие траектории. Даже если взять
микрочастицу размером всего в 1 мкм, то ее масса будет
превосходить массу атома примерно в 1012 раз. Для
такой частицы неопределенности значений х и vx
оказываются за пределами точности измерения этих
величин, так что практически ее движение будет
неотличимо от движения по траектории.
Таким образом, чем больше масеа частицы, тем
с большей точностью применимы к ее движению
понятия и законы классической механики. Это
утверждение является частным случаем более общего
утверждения, называемого принципом соответствия.
Согласно этому принципу при предельном переходе
ft->0 законы и соотношения квантовой механики
переходят в соответствующие законы и соотношения
классической механики. Практически это означает,
что чем меньше роль эффектов, пропорциональных
постоянной Планка ft, тем поведение
рассматриваемой системы ближе к классическому.
Перебрасывая мост между квантовыми и
классическими законами, принцип соответствия позволяет
находить квантовомеханические аналоги
классических величин.
Для характеристики состояйия, в котором
находится рассматриваемая микросистема, естественно
взять значения тех динамических переменных, кото-
СОСТОЯНИЕ
рые в данном состоянии имеют определенную
величину. Совокупность всех динамических переменных,
имеющих в данном состоянии определенные
значения, называется полным набором. Полные наборы
для разных состояний различны. В частном случае
полный набор может состоять только из одной
динамической переменной. В таком состоянии все
переменные, кроме одной, образующей полный набор,
оказываются неопределенными.
Говоря о динамических переменных вообще (т. е.
без конкретизации того, о каких именно
переменных— х, рх, Е и т. д. — идет речь), мы обычно будем
обозначать их буквой Q, иногда буквами R, Л,
В и т. д.
. Совокупность численных значений, которые может
принимать данная динамическая переменная,
называется ее спектром. Если допустимые численные
значения образуют непрерывную последовательность,
говорят, что данная величина обладает непрерывным
(или сплошным) спектром значений. Если
допустимые численные значения образуют дискретную
последовательность, говорят, что данная величина
обладает дискретным спектром значений. В общем
случае спектр значений динамической переменной может
включать в себя как непрерывные, так и
дискретные участки.
Различные значения переменной Q мы будем
обозначать символом q, причем если данное значение
принадлежит дискретному спектру, мы будем
ставить внизу индекс, указывающий номер значения,
т. е. писать qn. Отсутствие индекса при q будет
указывать на то, что данное значение принадлежит
непрерывному спектру.
Мы уже отмечали, что закономерности микромира
коренным образом отличаются от закономерностей,
наблюдаемых для макроскопических тел. Это
отличие проявляется в том, что состояния и динамические
переменные приходится характеризовать
математическими величинами другой природы, чем те, которые
используются в классической физике. Каждой
динамической переменной приводится в соответствие
некоторый линейный оператор. Состояние системы
характеризуется некоторой, вообще говоря, комплексной
функцией г|э, которую называют либо волновой
функцией, либо пси-функцией, либо амплитудой веу
роятности. Мы будем пользоваться термином «пси-
функция». Дирак ввел для характеристики состояния
комплексный вектор особого рода, который он
назвал вектором состояния.
Заметим, что возможны такие состояния, которым
нельзя сопоставить никакой пси-функции. Их
называют смешанными состояниями, в отличие от чистых
состояний, описываемых пси-функциями. Мы будем
рассматривать только чистые состояния. Поэтому
слово «чистые» мы будем для краткости опускать
и говорить просто о состояниях системы.