Вторая часть ОГЭ по математике (задание №21) часто преподносит сюрприз: задачу на движение по окружности (замкнутой трассе). В отличие от прямолинейного движения, здесь нет очевидной точки «А» и точки «В». Участники стартуют, движутся, обгоняют друг друга, и у многих это вызывает ступор. Но на самом деле достаточно одной ключевой идеи, чтобы все встало на свои места.
В чем сложность?
Главная особенность кольцевого движения — отсутствие фиксированного расстояния между объектами. Если на прямой мы говорим «от пункта А до пункта Б», то на круге всё время меняется. Однако есть один неизменный факт: точка старта общая.
Ключевая идея: первый обгон
Самая популярная формулировка: «Два мотоциклиста стартуют из одной точки круговой трассы в одном направлении. Через сколько минут один впервые догонит другого?»
Логика:
Когда более быстрый участник впервые догоняет более медленного, он проезжает ровно на один круг больше. Расстояние, на которое он его «обогнал» в пространстве, равно длине трассы.
Формула для этого случая:
v₁ × t — v₂ × t = L (где L — длина круга)
Или, вынося время за скобку:
t × (v₁ — v₂) = L
Отсюда:
t = L / (v₁ — v₂)
То есть время до первой встречи равно длине круга, деленной на разность скоростей. Это работает, если старт одновременный и из одной точки.
Если старт из разных точек
Иногда условие звучит иначе: «Из одной точки круговой трассы в одном направлении стартуют два тела, но одно позже другого» или «Старт из диаметрально противоположных точек».
В этом случае нужно выяснить, какое расстояние нужно преодолеть более быстрому, чтобы впервые поравняться с более медленным.
Пример: Если стартуют из двух противоположных точек (расстояние между ними по трассе = половина круга), то более быстрому нужно сократить это отставание. Уравнение будет выглядеть так:
v₁ × t — v₂ × t = L/2
Движение в противоположных направлениях
Если мотоциклисты стартуют из одной точки в противоположных направлениях, то они движутся навстречу друг другу по кругу. В этом случае работает формула скорости сближения:
t = L / (v₁ + v₂)
Здесь время до первой встречи равно длине круга, деленной на сумму скоростей.
Как составить уравнение: пошаговый алгоритм
1. Определите неизвестное. Обычно это время до встречи (t) или скорость одного из участников.
2. Выясните, на сколько кругов один обогнал другого. В задачах на обгон в одном направлении это ключевой момент. Если сказано «впервые догнал» — разница в пути = 1 круг. Если «встретились во второй раз» — разница = 2 круга.
3. Запишите разность путей. Путь первого = v₁ × t, путь второго = v₂ × t. Их разность = n × L (где n — количество кругов, на которое один опередил другого).
4. Решите уравнение. Оно всегда сводится к линейному, если скорости постоянны. Квадратных уравнений в задачах на кольцевое движение практически не бывает.
Типичная ловушка: единицы измерения
В задачах на движение по кругу часто подвох с размерностями. Скорость может быть дана в км/ч, а длина трассы — в метрах. Или время спрашивают в минутах, а скорость в км/ч.
Совет: Переводите всё в одни единицы.
· Если длина трассы в километрах, скорость должна быть в км/ч, время получится в часах.
· Если нужно время в минутах, либо переведите скорость в км/мин, либо получите часы и умножьте на 60.
Пример для закрепления
Два автомобиля стартуют одновременно из одной точки кольцевой трассы в одном направлении. Длина трассы 12 км. Скорость первого 110 км/ч, скорость второго 80 км/ч. Через сколько минут первый автомобиль впервые обгонит второго на круг?
Решение:
1. Разность скоростей: 110 — 80 = 30 км/ч.
2. Чтобы обогнать на круг, первому нужно проехать на 12 км больше.
3. Время: t = L / (v₁ — v₂) = 12 / 30 = 0,4 часа.
4. Переводим в минуты: 0,4 × 60 = 24 минуты.
Ответ: 24 минуты.
Резюме
Движение по кругу пугает только непривычкой. Запомните главное: в задачах на обгон в одном направлении разность пройденных путей равна длине круга (или её доле). Используйте таблицу, рисуйте схему-окружность, и задание 21 станет для вас не проклятием, а легким источником заветных баллов.