Когда мы произносим слово «бесконечность», наше воображение обычно рисует что-то безграничное, необъятное, то, что нельзя измерить или сосчитать. Мы привыкли думать, что бесконечность — это просто «очень много», предел, которого нельзя достичь. Но в конце XIX века Георг Кантор совершил революцию, которая перевернула наши представления о бесконечности. Он доказал, что бесконечностей бывает не одна, а бесконечно много, и что среди них есть разные размеры.
Кантор начал с простого вопроса: как сравнивать бесконечные множества? Если у нас есть две корзины с яблоками, мы можем сравнить их, не считая яблоки поштучно, а просто сопоставляя каждое яблоко из первой корзины с яблоком из второй. Если яблоки закончились в обеих корзинах одновременно, то их поровну. Этот же принцип — установление взаимно-однозначного соответствия — Кантор применил к бесконечным множествам. И здесь его ждал первый сюрприз.
Оказалось, что натуральных чисел ровно столько же, сколько и чётных чисел. На первый взгляд это кажется абсурдным, ведь чётные числа — это лишь половина всех натуральных. Но Кантор предложил простое сопоставление: каждому натуральному числу n поставим в соответствие чётное число 2n. Так 1 соответствует 2, 2 — 4, 3 — 6 и так далее. Каждому натуральному числу находится уникальное чётное, и каждое чётное находит свой номер. Получается, что этих множеств «поровну», хотя одно является частью другого. Это свойство — возможность быть равномощным своей собственной части — Кантор сделал определением бесконечного множества.
Однако дальше произошло самое удивительное. Кантор задался вопросом: а можно ли так же сопоставить натуральные числа с точками на прямой, скажем, на отрезке от 0 до 1? Долгое время математики считали, что да, потому что натуральных чисел бесконечно много, и точек на отрезке тоже бесконечно много, значит, их должно быть поровну. Но Кантор доказал, что это не так. Точки на отрезке нельзя перенумеровать натуральными числами. Их бесконечность оказалась принципиально иной, более мощной. Он назвал её континуумом.
Предположим, что мы всё-таки сумели перенумеровать все действительные числа от 0 до 1, записав их в бесконечный список в виде десятичных дробей. Теперь построим новое число: возьмём первую цифру первого числа и изменим её на любую другую, затем вторую цифру второго числа и тоже изменим, третью цифру третьего — и так далее. Полученное число не совпадает с первым (отличается первой цифрой), не совпадает со вторым (отличается второй цифрой), не совпадает с третьим — и так до бесконечности. Значит, мы нашли число, которого нет в нашем списке, хотя мы думали, что перечислили все. Получается, что никакая нумерация не может охватить все действительные числа — их «больше», чем натуральных.
Это открытие вызвало настоящую бурю. Кантору пришлось столкнуться с яростным неприятием со стороны самых авторитетных коллег. Леопольд Кронекер, его бывший учитель, называл работы Кантора «научным шарлатанством». Анри Пуанкаре, один из величайших математиков того времени, называл теорию множеств «болезнью, от которой математика когда-нибудь излечится». Даже сам Кантор в конце жизни страдал от депрессии, которую отчасти связывали с травлей его идей. Но время всё расставило по местам. Сегодня теория множеств Кантора считается фундаментом современной математики, а его открытие о существовании разных бесконечностей — одной из её вершин.
ТАКЖЕ МОЖЕТЕ ПРОЧЕСТЬ В МОЁМ БЛОГЕ:
Более того, Кантор показал, что бесконечностей не две и не три, а бесконечно много. Из любого бесконечного множества можно построить множество всех его подмножеств, которое будет ещё более мощным. Натуральные числа порождают континуум (мощность точек на прямой). Континуум порождает множество всех функций, которое ещё больше. И так до бесконечности. Эти бесконечности Кантор назвал трансфинитными числами, и они выстроились в строгую иерархию — алеф-ноль, алеф-один, алеф-два…
Сегодня открытия Кантора находят неожиданные применения далеко за пределами математики. В физике, например, континуум используется в теории относительности и квантовой механике. В информатике понятие о разных типах бесконечностей помогает понимать границы вычислимости: есть задачи, которые можно решить, перебирая счётное множество вариантов, а есть такие, где вариантов уже несчётно. В философии теория Кантора заставила пересмотреть представления о природе реальности и границах человеческого познания.
Так что же такое бесконечность? Ответ, данный Кантором, одновременно прост и головокружителен. Бесконечность — это не предел, к которому мы стремимся, а целый мир, населённый разными по величине «бесконечностями». Есть бесконечности, которые можно пересчитать (как натуральные числа), и есть бесконечности, которые пересчитать невозможно (как точки на прямой). И над каждой из них есть следующая, ещё более грандиозная. Человеческий ум, который смог это постичь, оказался больше любой из них. Возможно, в этом и есть главное чудо, открытое Кантором: наш разум способен вместить то, что не может быть пересчитано и измерено.
На этом всё. Спасибо!
***
Меня зовут Анна, я репетитор по математике с 20-летним стажем. Помогаю с подготовкой к ЕГЭ, ОГЭ, помогаю с прохождением ДВИ.
Занимаюсь также и со взрослыми учениками — если хотите освежить в памяти математические знания, если математика вам нужна для работы/учёбы, или если вы хотите заняться математикой для себя, то обращайтесь!
Связаться со мной можно через Телеграм (@annavladimirovnamath)
Кроме того, могу дать небольшую консультацию тем, кто сам хочет заняться репетиторством.
***
Делитесь мнениями, комментариями, ставьте лайки и подписывайтесь на мой канал — здесь и в Телеграме, там много интересного и полезного!