#ЕГЭ #Математика #Профиль #ТеорияЧисел #Делимость #Задание19
Задание №19 в профильном ЕГЭ по математике — это задача по теории чисел. Она стоит в конце второй части и дает 2 балла. Многие ученики даже не берутся за нее, потому что кажется слишком сложной и нестандартной.
Но на самом деле в этом задании есть четкие типы и алгоритмы. Достаточно понять несколько ключевых идей — и вы сможете решать большинство вариантов.
В этой статье разберем самые частые типы задач на теорию чисел: делимость, простые числа, уравнения в целых числах, остатки от деления. Сохраняйте в закладки — перед экзаменом просто пролистаете и вспомните основные приемы.
---
1. Что требуется в задании №19
В задании №19 дается задача, связанная с целыми числами. Это может быть:
· доказательство делимости
· нахождение чисел с определенными свойствами
· решение уравнений в целых числах
· задачи на простые и составные числа
Нужно дать полное обоснованное решение. Задание оценивается в 2 балла: 1 балл за верную идею и 1 балл за полное решение.
---
2. Основные понятия, которые нужно знать
Делимость: число a делится на число b, если существует целое k такое, что a = b·k.
Признаки делимости:
· на 2: последняя цифра четная
· на 3: сумма цифр делится на 3
· на 4: последние две цифры образуют число, делящееся на 4
· на 5: последняя цифра 0 или 5
· на 9: сумма цифр делится на 9
· на 10: последняя цифра 0
Простые числа: числа, которые делятся только на 1 и на себя. Первые простые: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Взаимно простые числа: числа, у которых нет общих делителей, кроме 1. Например, 8 и 15.
Остатки от деления: число a при делении на m дает остаток r, если a = m·q + r, где 0 ≤ r < m.
---
3. Тип 1. Доказательство делимости
В таких задачах нужно доказать, что некоторое выражение делится на заданное число при всех натуральных n.
Общий подход:
· использовать метод математической индукции
· или разложить выражение на множители
· или рассмотреть остатки от деления
---
Пример 1. Делимость на 3
Докажите, что число n³ + 2n делится на 3 при любом натуральном n.
Решение:
Разложим: n³ + 2n = n(n² + 2)
Рассмотрим остатки от деления n на 3.
Случай 1. n = 3k (делится на 3). Тогда n³ + 2n = 3k·(9k² + 2) — делится на 3.
Случай 2. n = 3k + 1 (остаток 1). Подставляем:
(3k+1)³ + 2(3k+1) = (27k³ + 27k² + 9k + 1) + (6k + 2) = 27k³ + 27k² + 15k + 3 = 3·(9k³ + 9k² + 5k + 1) — делится на 3.
Случай 3. n = 3k + 2 (остаток 2). Подставляем:
(3k+2)³ + 2(3k+2) = (27k³ + 54k² + 36k + 8) + (6k + 4) = 27k³ + 54k² + 42k + 12 = 3·(9k³ + 18k² + 14k + 4) — делится на 3.
Во всех трех случаях выражение делится на 3. Что и требовалось доказать.
---
4. Тип 2. Уравнения в целых числах
В таких задачах нужно найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению.
Общий подход:
· выразить одну переменную через другую
· использовать делимость
· рассмотреть ограничения (например, дискриминант должен быть полным квадратом)
---
Пример 2. Уравнение с двумя переменными
Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие уравнению: xy + 2x + 3y = 10.
Решение:
Сгруппируем слагаемые: xy + 2x + 3y = 10
Добавим и вычтем 6: xy + 2x + 3y + 6 = 16
Разложим левую часть на множители: (x + 3)(y + 2) = 16
Теперь нужно найти все целые делители числа 16: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.
Составляем системы:
· x + 3 = 1, y + 2 = 16 → x = -2, y = 14
· x + 3 = -1, y + 2 = -16 → x = -4, y = -18
· x + 3 = 2, y + 2 = 8 → x = -1, y = 6
· x + 3 = -2, y + 2 = -8 → x = -5, y = -10
· x + 3 = 4, y + 2 = 4 → x = 1, y = 2
· x + 3 = -4, y + 2 = -4 → x = -7, y = -6
· x + 3 = 8, y + 2 = 2 → x = 5, y = 0
· x + 3 = -8, y + 2 = -2 → x = -11, y = -4
· x + 3 = 16, y + 2 = 1 → x = 13, y = -1
· x + 3 = -16, y + 2 = -1 → x = -19, y = -3
Ответ: (-2;14), (-4;-18), (-1;6), (-5;-10), (1;2), (-7;-6), (5;0), (-11;-4), (13;-1), (-19;-3)
---
5. Тип 3. Задачи на простые числа
В таких задачах нужно найти простые числа, удовлетворяющие определенным условиям.
Общий подход:
· перебирать небольшие простые числа
· использовать четность (единственное четное простое — 2)
· использовать ограничения на сумму или произведение
---
Пример 3. Простые числа в уравнении
Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = 20.
Решение:
Перебираем простые числа меньше 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Проверяем пары:
· 2 + 18 — 18 не простое
· 3 + 17 = 20 → (3;17) подходит
· 5 + 15 — 15 не простое
· 7 + 13 = 20 → (7;13) подходит
· 11 + 9 — 9 не простое
· 13 + 7 = 20 — уже учтено
· 17 + 3 = 20 — уже учтено
· 19 + 1 — 1 не простое
Ответ: (3;17), (7;13), (13;7), (17;3)
---
6. Тип 4. Задачи на остатки от деления
В таких задачах нужно найти число, которое при делении на разные числа дает заданные остатки.
Общий подход:
· записать условия в виде уравнений
· решить систему сравнений
· использовать китайскую теорему об остатках
---
Пример 4. Нахождение числа по остаткам
Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 5 дает остаток 3, при делении на 7 дает остаток 4.
Решение:
Запишем условия:
· x = 3a + 2
· x = 5b + 3
· x = 7c + 4
Из первых двух: 3a + 2 = 5b + 3 → 3a = 5b + 1 → 3a - 5b = 1
Подбираем a и b: a = 2, b = 1 дает 6 - 5 = 1. Тогда x = 3·2 + 2 = 8.
Проверяем x = 8 на третье условие: 8 : 7 = 1·7 + 1 (остаток 1, а нужно 4) — не подходит.
Ищем общее решение для первых двух уравнений. Из 3a - 5b = 1 находим a = 2 + 5t, b = 1 + 3t. Тогда x = 3(2+5t) + 2 = 6 + 15t + 2 = 15t + 8.
Теперь проверяем третье условие: 15t + 8 ≡ 4 (mod 7)
15t + 8 ≡ 4 (mod 7) → 15t ≡ -4 (mod 7) → 15t ≡ 3 (mod 7)
15 ≡ 1 (mod 7), поэтому t ≡ 3 (mod 7). Наименьшее t = 3.
Тогда x = 15·3 + 8 = 45 + 8 = 53.
Ответ: 53
|Что такое mod простыми словами
mod — это остаток от деления одного числа на другое.
Пример:
17 mod 5 = 2, потому что 17 : 5 = 3·5 + 2 (остаток 2)
Читается: «17 по модулю 5 равно 2».|
---
7. Тип 5. Задачи на нахождение чисел с заданными свойствами
В таких задачах нужно найти числа, которые обладают определенными свойствами (например, сумма цифр равна чему-то, или число является квадратом).
Общий подход:
· ввести переменные для цифр числа
· составить уравнение
· использовать ограничения (цифры от 0 до 9, первая цифра не 0)
---
Пример 5. Двузначное число
Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше суммы своих цифр.
Решение:
Пусть число равно 10a + b, где a — цифра десятков (от 1 до 9), b — цифра единиц (от 0 до 9).
Условие: 10a + b = 4(a + b)
Раскрываем: 10a + b = 4a + 4b
10a - 4a = 4b - b
6a = 3b
2a = b
b = 2a
a может быть 1, 2, 3, 4. Тогда b = 2, 4, 6, 8.
Получаем числа: 12, 24, 36, 48.
Проверяем: 12 = 4·3, 24 = 4·6, 36 = 4·9, 48 = 4·12 — все подходят.
Ответ: 12, 24, 36, 48
---
8. Типичные ошибки в задании №19
Ошибка 1. Пропускают отрицательные решения
Как избежать: в уравнениях в целых числах всегда рассматривайте отрицательные делители.
Ошибка 2. Забывают про единицу
Как избежать: 1 — не простое число. Помните об этом при переборе простых чисел.
Ошибка 3. Не проверяют все случаи
Как избежать: при разборе остатков всегда проверяйте все возможные варианты (0, 1, 2, ..., m-1).
Ошибка 4. Путают признаки делимости
Как избежать: выучите признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10 наизусть.
---
9. Бонус: чек-лист для задания №19
Перед тем как сдавать экзамен, проверьте себя:
Сохраните эту статью в закладки, чтобы перед экзаменом быстро повторить основные типы задач по теории чисел.
А в комментариях напишите: какой тип задач на теорию чисел вызывает у вас больше всего трудностей? Разберем его подробнее!
---
Подпишитесь на канал, чтобы не пропустить:
· Разбор задания №13 (тригонометрия)
· Разбор задания №15 (неравенства)
· Разбор задания №17 (экономическая задача)
· Новости ФИПИ и изменения в экзаменах