Расстояние от точки до прямой.
Пусть у нас есть прямая и какая-то точка N, которая не лежит на этой Пусть отрезок ND — это перпендикуляр, опущенный с точки N на прямую.
Возьмем какую-то произвольную точку M, которая лежит на прямой, и при этом не совпадает с точкой D.
Отрезок NM — это наклонная из точки N к прямой.
DM — это проекция этой наклонной.
В прямоугольном треугольнике NDM катет ND меньше, чем гипотенуза NM. Следовательно:
Переформулирую: «Кратчайшим расстоянием от точки до прямой будет перпендикуляр, опущенный из этой точки на прямую».
Перейдем ко второй части.
Пусть есть пространство, в котором есть какая-то плоскость и точка А.
Проведем через нее прямую, перпендикулярную плоскости. Точкой D обозначим пересечение этой прямой с плоскостью. Отрезок AD называется перпендикуляром, проведённым из точки, А к плоскости, а точка D называется основанием перпендикуляра.
Возьмём на плоскости какую-то точку М, отличную от точки D. Проведём отрезок AM. Он будет наклонной, проведённый из точки А к плоскости. Точка M будет основанием наклонной. Отрезок MD будет проекцией, наклонной на плоскость.
Сравним перпендикуляр AD и наклонную AM. Для этого рассмотрим треугольник ADM.
Он прямоугольный.
AD катет
AM — гипотенуза.
Мы знаем, что катет в прямоугольном треугольнике меньше гипотенузы. Отсюда следует, что;
Следовательно, из всех расстояний от точки, А до различных точек плоскости наименьшим будет расстояние до точки D, то есть перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости.
Именно это расстояние AD и называется расстоянием от точки до плоскости.
Иначе говоря: «Кратчайшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость».