Предположим, что у нас есть какая-то точка А, у которой координаты х и у. Мы не знаем, чему равны эти х и у. Однако есть формулы, как их найти
х=ОА*Cosα
у=ОА*Sinα
Что это такое за ОА и почему косинус и синус альфа мы и будем разбираться.
Пусть у нас есть система координат первый и второй квадрант.
Проведем полуокружность, у которой радиус будет равен единице, а центр будет находиться в начале координат. Эта полуокружность будет называться единичной полуокружностью. Поставим точки A, B и C на пересечение полуокружности с осями координат.
Координаты этих точек:
A (1, 0).
Вот 1 — это как раз и говорит о том, что радиус равен 1.
B (-1, 0)
C (0, 1)
Эти точки вспомогательные – просто для того, чтобы продемонстрировать, что полуокружность имеет радиус 1. Проведём произвольный луч из начала координат в первом квадранте.
Назовём этот луч h. Точка пересечения этого луча с единичной окружности, обозначим её M, будет иметь координаты (x, y).
Угол, который образует наш луч H с лучом Ox, равен α, какому-то произвольному значению.
Уберем вспомогательные точки, чтобы они не загромождали чертеж.
Обозначим точкой D пересечение перпендикуляра из точки M на ось OX.
Рассмотрим треугольник OMD. Угол D у него прямой, мы опускали перпендикуляр, это 90 градусов. Угол альфа у нас острый, мы так проводили луч h.
Теперь из этого прямоугольного треугольника выведем, чему равен синус альфа и косинус альфа.
Синус альфа — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус альфа — отношение прилежащего катера к гипотенузе.
Важное замечание.
Сторона ОМ – гипотенуза треугольника OMD, равна единице, так как она является ещё и радиусов единичной полуокружности.
То есть в знаменателе каждой дроби единица, а значит наши равенства принимают вид:
При это OD – это не что иное, как х, МД – не что иное, как у.
Таким образом, получаем:
Следует заметить, что абсолютно не важно, чему именно равен угол альфа. В любом случае косинус и синус этого угла будут вычисляться по вот этим формулам.
Теперь перейдем к тому, как же найти координаты произвольной точки А, которая не лежит на нашей единичной полуокружности.
На этот раз будем рассматривать только первый квадрант, и нашу полуокружность сократим до четверти.
Итак, у нас дана произвольная точка, А с какими-то координатами х и у, которые мы выразим через длину отрезка ОА и угол альфа, образованный между этим отрезком и положительной полуосью х.
Обозначим буквой M точку пересечения c единичной окружностью, в нашем случае четверть окружностью, с лучом OA.
Выше мы выяснили, что координаты точки M (Cosα, Sinα).
Вектор ОМ имеет те же самые координаты, что и точка М, то есть (Cosα, Sinα).
Вектор ОА имеет те же координаты, что и точка А, то есть (х, у).
При этом вектор ОА равен длине отрезка ОА, умноженной на вектор ОМ.
Это верно, потому что существует лемма, которая гласит:
«Если векторы А и В коллинеарные, и вектор А не нулевой, т.е. не равен нулевому вектору, то существует такое число k, что вектор b равен числу k, умноженному на вектор а».
Отсюда следует, что
Мы вывели, как найти координаты точки, зная длину отрезка и угол, образованный этим отрезком положительной осью Ох.