Некоторые околоматематические размышления от дилетанта в этой области. Абстракция не всеми понимается верно. Чаще всего её понимают как упрощение. Дорожные знаки, например, часто являются абстракцией. Там могут быть нарисованы упрощенные эскизы людей, зверей и разных предметов. Но если посмотреть изначальное значение слова, abstractio - это отвлечение. Абстракция отталкивается от реальных вещей, сосредотачиваясь на некоторых отдельных их признаках, чтобы заострить на них внимание. Так можно понять абстрактное искусство.
Математическая абстракция имеет иное значение. Тут она означает введение некоторого понятия, которое нельзя логически объяснить или показать. Например, иррациональные числа являются математической абстракцией. Корень из двух нельзя записать на бумаге. Его можно только представить абстрактно, в виде функции. Тоже самое касается числа Пи. Ему придумали особый знак, потому как записать его реальное значение не представляется возможным. Просто не хватит бумаги, даже если пустить на бумагу всю Вселенную. К математическим абстракциям относятся и комплексные числа. Самое простое из них - мнимая единица. Мнимая единица (i) — это число, квадрат которого равен -1. То есть i² = -1.
Уровень абстракции повышается. Если иррациональные числа не представимы, то они хотя бы понятны и не нарушают базовые правила арифметики. Мнимая единица эти правила нарушает. Она не является ни положительным, ни отрицательным числом. Она словно бы из другого измерения.
Мнимая единица вводится для того, чтобы расширить поле действительных чисел до поля, в котором любое алгебраическое уравнение имеет решение. Самый простой пример: уравнение x² + 1 = 0 не имеет решений в действительных числах. i — это его решение.
В геометрической интерпретации мнимая единица — это оператор поворота на 90°. Мнимая единица присутствует во многих формулах описывающих электромагнитные явления (уравнения Максвелла) и любые волновые функции. В квантовой физике мнимая единица тоже присутствует (уравнения Шрёдингера). Присутствует она и в преобразованиях Фурье.
Всё, что колеблется (электромагнитная волна, квантовая волновая функция), требует двух чисел для полного описания: амплитуда и фаза. Комплексное число упаковывает их в единое целое.
Поначалу я думал, что мнимая единица - это удобная математическая абстракция, не имеющая физического смысла. Но постепенно понял, что это не так. За мнимой единицей что-то стоит. Что-то, что определяет физическую суть мира. Мы ещё не до конца понимаем физический смысл комплексных чисел, а он определённо есть. Присутствие мнимой единицы в математике можно объяснить "удобной абстракцией". Но присутствие мнимой единицы в физике, это маркер того, что реальность глубже, чем кажется.
То, что в микромире нельзя одновременно точно определить координату частицы и её импульс, означает, что возможно это комплементарные параметры, которые мы принудительно разделяем. Комплексное число как раз объединяет взаимосвязанные параметры в единое целое (например, амплитуду и фазу волны).
Мир для нас представляется собранием вещей. Реальность на микроуровне имеет волновую природу. То есть она принципиально отличается от мира данного нам в ощущениях. Можно представить нашу реальность как проекцию глубинной реальности. Проекция есть в определённом смысле тень. Мы опять возвращаемся к платоновской пещере. Я считаю её самой важной идеей Платона, хотя он бы со мной не согласился.
Меня смущает то, что квантовая физика оперирует вероятностями. Мне кажется это недостойным для точной науки. :-) Возможно причина этого в том, что мы упускаем некую комплексную составляющую квантовых событий, анализируя лишь вещественную часть.
Надеюсь, что я вас не заморочил. Для компенсации вот вам математическая нейрошутка. Строгая наука математика может показаться абстрактной наукой в реальной жизни. Не углубляясь в комплексные числа, даже на начальном уровне, можете ли вы утверждать, что две половинки яблока - это то же самое, что целое яблоко? А ведь математика утверждает именно это! :-)
Всем мира!