Такой вопрос я нашла в списке вопросов к устному экзамену. Честно скажу, на вскидку я смогла вспомнить только 5 формул. Шестую пришлось искать на просторах интернета. Именно ее мы и будем доказывать, но это будет в самом конце. Сначала перечислим все эти 6 формул.
Возьмем произвольный треугольник АВС. Углы А и В острые. Во всех треугольниках два угла обязательно острые.
Напротив угла А сторона a, напротив угла Bсторона b, напротив угла С сторона c. Мы берем произвольный треугольник, поэтому мы не знаем, какой угол С — тупой, острый или же прямой. Сторона напротив угла С у нас будет основанием нашего треугольника. Опустим на это основание высоту CD и обозначим ее h.
Первая формула площадь треугольника через высоту и основание треугольника, на которое опущена эта высота. Читается формула: Площадь равна половине произведения основания на высоту (как вариант: стороны на высоту, опущенную на эту сторону).
Следующая формула, нахождение площади треугольника, если известны две стороны и угол между ними. В самой формуле будет использоваться синус этого угла. Площадь треугольника равно половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
Далее площадь треугольника по формуле Герона. На канале есть разбор этой темы. При ответе на данный вопрос на экзамене можно доказывать формулу Герона. Напомню, найти площадь треугольника по этой формуле возможно, если известны все три стороны треугольника. Присутствует в формуле полупериметр, который несложно найти, если известны стороны.
Четвертая формула нахождения площади треугольника с использованием радиуса вписанной окружности. Чтобы воспользоваться этой формулой должен быть известен полупериметр (или три стороны треугольника) и радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника равно произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр.
Пятая формула – нахождение площади с помощью радиуса описанной окружности. В этом случае нам также необходимо знать чему равны стороны треугольника.
Площадь треугольника равна отношению произведения всех сторон треугольника к четырём радиусам описанной окружности.
И, наконец, последняя, шестая формула — нахождение площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам, например через сторону с и углы А и В. Формула выглядит следующим образом:
Площадь треугольника равна отношению квадрата стороны треугольника к удвоенной сумме котангенсов прилежащих к этой стороне углов.
Эта же формула есть в другом виде, через синусы углов. Она выглядит чуть сложнее:
Обещанное доказательство. Будем доказывать формулу с использованием котангенсов углов, а потом с помощью преобразований перейдем к синусам. То есть рассмотрим оба варианта этой формулы.
Переходим непосредственно к доказательству. Построено оно на самой первой формуле нахождения площади треугольника. Только по условию, мы знаем величины прилежащих углов и не знаем чему равна высота. Поэтому выразим высоту через известные нам величины.
Рассмотрим два треугольника ACD и BCD.
Сторону AD выразим из первого треугольника через высоту CD, умноженную на котангенс угла А.
Из второго треугольника сторону BD через высоту и котангенс угла В
Сложим эти две формулы. Сразу же раскрою интригу, зачем мы это делаем. AD+BD=c – основание треугольника, величина, которая нам дана по условию теоремы.
Вынесем общий множитель h за скобку.
Из полученного выражения теперь можем найти чему равно h.
Остается подставить это значение h в нашу первую формулу площади треугольника, получим:
Перепишем формулу в более красивом виде:
Знаменатель 2 из дроби ½ перенесём в знаменатель к котангенсам,
с, которая стоит перед чертой дроби перенесём в числитель.
Шестую формулу площади треугольника мы доказали. Теперь из неё получим новую формулу, через синусы углов.
Котангенс — это у нас отношение косинуса к синусу.
Подставим это отношение в полученную формулу.
Для удобства преобразований заменим черту дроби на знак деления. Знаменатель поставим в скобки.
Приведем к общему знаменателю выражение, стоящее в скобках.
Разделить на дробь – это значит умножить на ей противоположную.
Но прежде упростим дробь. Числитель этой дроби – формула разложения синуса суммы.
Первую дробь умножим на дробь обратную второй (числитель и знаменатель поменяем местами). Запишем всё выражение под общей чертой дроби.
Мы доказали нахождение площади треугольника через сторону и прилежащие к ней углы.