Кажется, не требует обоснования мысль, вынесенная в заголовок заметки. Если ученик владеет методом, то он выведет и формулу. а если не владеет, то может ошибиться в воспроизведении формулы и не решит задачу. Покажем это на примере задачи, разобранной на канале Валерия Казакова. Она дана под заголовком «Расстояние между точками касания». Итак задача.
1. В четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD и заданы длины сторон: AD = a, BC = b, AB = m, CD = n. В треугольники ABD и BCD вписаны окружности, касающиеся диагонали BD в точках K и M соответственно. Найдите длину отрезка MK.
На канале приведено текстовое решение задачи с использованием теоремы о нахождении расстояния от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности.
В решении задачи всё хорошо, кроме одного: в стрессовой ситуации олимпиады или экзамена ученик может «криво» воспроизвести по памяти используемую формулу.
Покажем метод доказательства упомянутой теоремы, его мы применим при решении задачи.
Источник. Расстояние между точками касания | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/a/ab2NFtX0rEXQZ-fi
Обозначим буквой x длины двух касательных, выходящих из одной вершины треугольника, тогда, обходя вершины треугольника по часовой стрелке получим длины двух касательных по b – x, и двух касательных по c– (b – x) = c – b + x. Первая и последняя касательная дают в сумме a. Составим уравнение:
a = c – b + x + x,
из которого получим нужную формулу.
Теперь вернёмся к решению задачи.
Решение. Обозначим длины касательных к окружностям, проведённые из точек Aи C буквами x и y соответственно. Выразим через x и y длину отрезка KM двумя способами.
BK = m – x, BM = b – y, тогда KM = BM – BK = b – y – m + x.
DK = a – x, DM = n – y, тогда KM = DK – DM = a – x – n + y.
Мы получили разные выражения для длины отрезка KM, в которые «лишние буквы» входят с противоположными знаками. Чтобы избавиться от «лишних букв», сложим полученные результаты и делением на 2 получим ответ:
В качестве примера применения полученного результата на канале приведена задача про равнобедренную трапецию с заданными длинами сторон.
2. В равнобедренной трапеции ABCD проведена диагональ BD и заданы длины сторон: AB= CD = 8, BC = 7, AD = 15. В треугольники ABD и BCD вписаны окружности, касающиеся диагонали BD в точках K и M соответственно. Найдите длину отрезка MK.
На второй день на канале появилось видео с решением этой задачи с вычислением длины диагонали BD с помощью двойного применения теоремы Пифагора.
Источник. https://dzen.ru/video/watch/69be53da2e14f079eeb19d16
Для решения этой задачи можно ввести «лишние буквы» и выразить длину отрезка KM двумя способами, а потом избавиться от «лишних букв», вычислив среднее арифметическое двух полученных результатов. И не нужно два раза применять теорему Пифагора.
Подведём итог. Учащимся полезно знать возможно больше теорем и формул, но ещё полезнее знать методы, с помощью которых доказаны эти теоремы и формулы.