Завтра отмечаем день числа Пи. Кто сможет без помощи Гугла и Яндекса назвать хотя бы десять знаков после запятой в числе Пи? Есть разные мнемонические правила для запоминания числа Пи, основанные на том, что количество букв в слове равно цифре. Классика, чтобы запомнить 4 знака после запятой: «Это я знаю и помню прекрасно» или «Что я знаю о кругах?» — 3,1415. Если хотите запомнить одиннадцать знаков после запятой, запоминайте такую присказку: «Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать!» (3,14159265359).
Сегодня число Пи вычислено до 62,8 триллионов знаков после запятой. Если напечатать эти цифры обычным шрифтом, строчка растянется до Луны и обратно. Но как всё начиналось? Кто открыл это число?
История π (пи) насчитывает тысячелетия, и за каждым новым знанием о нём стоят конкретные люди. О них-то я и расскажу.
Архимед и его метод
Первым, кто разработал научный подход к вычислению отношения длины окружности к диаметру, был (по крайней мере так считается) древнегреческий математик Архимед Сиракузский, который жил около 287–212 гг. до н. э. В отличие от предшественников, использовавших грубые приближения, Архимед применил геометрический метод вписанных и описанных многоугольников. Доведя расчёт до 96-угольника, он строго доказал, что значение π находится между 3 + 10/71 (приблизительно 3,1408) и 3 + 1/7 (приблизительно 3,1429). Весьма приличная точность, вполне достаточная для всего на две с лишним тысячи лет вперёд. Этим же методом пользовались и другие.
Лудольфово число
Нидерландский математик Людольф ван Цейлен (1540–1610) посвятил вычислению π десять лет своей жизни. Всё тем же методом Архимеда он довёл число сторон правильного многоугольника до колоссальной величины — n = 60·2^29. Это позволило в 1596 году опубликовать результат с 20 десятичными знаками. Позже в его рукописях нашли ещё 15 знаков. Согласно завещанию учёного, эти 35 цифр были высечены на его надгробном камне в Лейдене. В Германии число π долгое время называли «лудольфовым числом» в его честь.
Уильям Джонс и Леонард Эйлер
Шли годы, века, числом пользовались, но называли его по-разному, или вообще не называли. Ситуация изменилась только в 1706 году — почти через 2000 лет после Архимеда, — когда валлийский математик Уильям Джонс в своей работе «Synopsis Palmariorum Matheseos» («Обозрение достижений математики») впервые использовал греческую букву π для обозначения отношения длины окружности к её диаметру. Он взял именно эту букву, потомоу что π — первая буква греческого слова περιφέρεια («периферия»), что означает «окружность».
Однако мало придумать идею, надо её популяризировать. Так вот приобрести мировую известность символу Джонса помог Леонард Эйлер. Великий математик начал использовать обозначение π в своих трудах с 1737 года, и благодаря его авторитету символ стал международным стандартом.
Доказательство невыразимого
Тысячелетиями математики интуитивно чувствовали, что π — число особенное, но строго доказал его свойства только в 1767 году немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт. Он доказал, что π является иррациональным числом, то есть его нельзя представить в виде обыкновенной дроби .
Но самый драматичный рубеж был взят в 1882 году. Немецкий математик Фердинанд фон Линдеман (1852–1939) доказал трансцендентность числа π . Это означает, что π не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Для обычных людей это доказательства не является чем-то особенным, но для мира математики оно имело колоссальное значение, потому что окончательно поставило крест на древней проблеме квадратуры круга — построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу. Линдеман доказал, что это невозможно.
Но это всё в Европе. А меж тем, математика параллельно развивалась и на Востоке, достигнув поразительных результатов.
От Мадхавы до ал-Каши
Задолго до европейцев Мадхава из Сангамаграмы из индийской школы Кералы, живший примерно в 1350–1425 годах открыл бесконечный ряд для вычисления π, известный сейчас как ряд Лейбница, и смог вычислить число с точностью до 11 знаков.
Его работу продолжил персидский математик Джамшид ал-Каши. Уже в 1424 году в своём «Трактате об окружности» он привёл 17 знаков π, из которых 16 были верными — выдающийся результат для своего времени, превзойдённый в Европе лишь спустя два столетия.
Рамануджан и современность
На рубеже XIX-XX века индийский математик-самородок Сриниваса Рамануджан (1887–1920) оставил потомкам более дюжины формул для вычисления π. Его ряды сходились невероятно быстро, позволяя получать миллионы знаков константы с минимальными вычислительными затратами. Вообще про этого математика снят не один фильм, рекомендую, проживи он хотя бы в два раза дольше, математика могла бы совершить куда более мощный скачок вперёд. И не только математика.
Современные исследования показывают, что структуры, лежащие в основе формул Рамануджана, удивительным образом совпадают с математическими моделями, описывающими турбулентность и даже физику чёрных дыр (о которых в то время даже не подозревали). Сегодня его работы помогают физикам вычислять параметры пространства-времени .
В общем, история числа Пи не закончена. И хотя большая точность нам уже давно не нужна, исследования, связанные с этим числом должны сыграть ещё большую роль.
Если было интересно, почитайте ещё несколько моих статей: