Родился в СССР 7 марта 1961 года в городе Дзержинск Горьковской области. Окончив в Москве среднюю школу №502, поступил в Московский гидромелиоративный институт. В 1983 году получил высшее образование и был зачислен на спецкурс испанского языка. С 1984 по 1986 год работал инженером во ВНИИ «Союзгидроводхоз» Министерства мелиорации и водного хозяйства СССР. Увлёкся альпинизмом и окончил Всесоюзную школу инструкторов альпинизма, а после стажировки окончил курсы спасателей-альпинистов. С 1986 года работал инструктором, а затем тренером по альпинизму в Управлении альпинизма Всесоюзного совета ВДФСО профсоюзов. С 1989 по 1991 год был начальником отдела альпинизма и туризма профессионального спортивного клуба «КАМАЗ». Одновременно состоял в спасательном отряде Общества Красного Креста и Красного Полумесяца. Участвовал в восхождениях на горы и пики Тянь-Шаня, Альп, Памира.
С 1991 года работал в Государственном комитете по ликвидации чрезвычайных ситуаций России. В 1992 году занял должность заместителя начальника отряда «Центроспас». Как альпинист-спасатель принимал участие в ликвидации последствий землетрясений в Армении, Иране, Киргизии, эпизоотии чумы в Тыве. Участвовал в операции по взрыву аварийной 150-метровой трубы на Уфимском НПЗ. Участвовал в поисково-спасательных операциях и гуманитарных акциях во время войны в Боснии, грузино-абхазской войны, военных действий в Чеченской республике. Привлекался к более 150 спасательным операциям. В 1995 году участвовал в учениях МЧС России на Северном Полюсе. За время работы награжден орденом «За личное мужество», медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» 2-й степени, медалью «За отвагу», ведомственными медалями и знаками. Увлекался профессиональной фотографией, имел авторский дар, сотрудничал с журналами и газетами, для которых подготовил множество очерков, статей и фоторепортажей. Писал стихи и детские сказки. Считал, что спасатель должен уметь работать во всех стихиях. При неудачном прыжке с парашютом получил перелом позвоночника, долго восстанавливал здоровье. Погиб 22 апреля 1998 года при испытаниях спасательного водолазного оборудования в водах Северного Ледовитого океана. Указом Президента Российской Федерации от 30 июня 1998 года Андрею Николаевичу Рожкову за мужество и героизм, проявленные при испытании нового спасательного оборудования, было присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).
Имя героя присвоено вертолёту Ми-8 «Центроспаса» и поисково-спасательному катеру типа «Мангуст» поисково-спасательного отряда МЧС РФ по Архангельской области. Именем А.Н. Рожкова названа средняя школа №502 в Москве, которую он окончил. В посёлке Мулино Нижегородской области открылась кадетская школа-интернат пожарно-спасательного профиля имени Андрея Рожкова. Один из малых островов архипелага Новая Земля носит имя героя. Мемориальные доски в память о нём открыты в Москве, Дзержинске и Мулино. В честь героя проводятся ежегодные соревнования юных спасателей. В 2014 году А.Н. Рожкову посвящена почтовая марка из серии «Герои Российской Федерации».