Четвертое измерение: что видят котики и как понять стереометрию через тени

Всем привет! Вы когда-нибудь смотрели на свою тень и думали: «А что, если я сам всего лишь чья-то тень?». Сегодня мы залезем в четвертое измерение. Без кислоты, только математика.

Спойлер: если ты поймешь, как устроены тени, ты поймешь, как видят мир котики, при чем тут стереометрия и почему мы никогда не увидим настоящий тессеракт.

1. Плоскландия: страна, где живут квадраты

Представьте мир, в котором всего два измерения: длина и ширина. Нет высоты. Жители этого мира — плоские фигуры: квадраты, круги, треугольники. Они ползают по плоскости и видят только края друг друга. Для них любая линия — это стена, круг — просто линия, если смотреть сбоку.

Этот мир придумал английский математик Эдвин Эбботт в 1884 году в книге «Флатландия» (Плоскландия). Там даже была социальная иерархия: чем больше углов у фигуры, тем выше класс. Женщины — просто отрезки (ну сексизм, да).

А теперь вопрос: что увидит плоский квадрат, если в его двухмерный мир заглянет трехмерный шар?

2. Как трехмерный шар выглядит в Плоскландии

Допустим, шар (мы с вами в трехмерном мире) медленно проходит сквозь плоскость Плоскландии.

• Сначала плоские жители увидят маленькую точку (шар только коснулся плоскости).
• Потом точка начнет расти в круг (шар погружается).
• Круг достигнет максимального диаметра (экватор шара совпал с плоскостью).
• Потом круг начнет уменьшаться обратно в точку.
• Исчезнет.

Для жителя Плоскландии это будет чудо. Появилось из ниоткуда, росло, потом сжалось и пропало. Они не поймут, что это был шар, потому что не видели высоту.

3. Теперь мы — плоские. А что тогда 4D?

Теперь представьте: мы с вами — жители трехмерного мира (как те плоские квадраты). А есть существа из четвертого измерения — четырехмерные. Они могут проходить сквозь наш мир так же, как шар проходил сквозь плоскость.

Если четырехмерный шар (назовем его гипершар) пройдет сквозь наше пространство, мы увидим:

• Сначала точку.
• Потом растущий шар.
• Максимальный шар.
• Уменьшающийся шар.
• Исчезновение.

Мы увидим только трехмерные «срезы» четырехмерного объекта. Сам объект целиком мы не увидим никогда. Как плоский квадрат не видит шар целиком.

4. Тессеракт: четырехмерный куб

Вы наверняка видели картинки в интернете — крутящийся куб внутри куба. Это не настоящий четырехмерный куб, а его проекция на наш мир (как тень).

Настоящий тессеракт (4D-куб) имеет 8 кубических ячеек, 16 вершин, 32 ребра и 24 грани (у обычного куба — 6 граней). В 4D все линии перпендикулярны друг другу по-честному, но мы не можем это увидеть, потому что наш мозг не обучен обрабатывать четыре перпендикуляра.

Как понять: Куб — это тень тессеракта в нашем мире. Как квадрат — тень куба на плоскости.

5. При чем тут котики?

Котики живут в трехмерном мире, но думают, что они двумерные. Они обожают коробки и пакеты, потому что им кажется, что если они спрятали голову, то их никто не видит. Кот не понимает, что его тело торчит наружу — для него существует только то, что он видит прямо перед собой (почти 2D).

Но если бы кот был четырехмерным, он мог бы вытащить рыбку из закрытого сейфа, не открывая дверцу. Потому что в 4D можно обойти любую трехмерную стену так же, как мы обходим забор по высоте.

6. Стереометрия: готовимся к 10 классу

В 7-9 классах мы учим планиметрию (фигуры на плоскости). В 10-11 начнется стереометрия — фигуры в пространстве: призмы, пирамиды, шары.

Четвертое измерение — это стереометрия для стереометрии. Но чтобы его понять, нужно сначала научиться представлять трехмерные фигуры по их проекциям и сечениям.

Попробуйте прямо сейчас: посмотрите на свою руку. Вы видите ее как трехмерный объект. Но на сетчатке глаза у нас плоская картинка. Мозг достраивает объем. Если мы научимся быстро рисовать проекции, мы будем королем стереометрии.

7. Эксперимент: тень куба

Возьмите фонарик и кубик. Посветите на стену. Меняйте угол — тень будет то квадратом, то шестиугольником. Это и есть «вид из другого измерения». Вы увидели разные проекции одного объекта.

Точно так же тессеракт проецируется в наш мир в виде сложных фигур. Их можно рисовать, но невозможно слепить из пластилина.

Итог:
Четвертое измерение — это не мистика, а чистая математика. Мы не можем его увидеть, но можем описать формулами. И кто знает: может быть, где-то там, в гиперпространстве, на нас сейчас смотрят четырехмерные котики и думают: «Какие смешные плоские люди».

А вы смогли бы нарисовать тессеракт? Попробуйте и выложите фото в комментарии! Если не получится — ничего страшного, до 11 класса научат.