Формулировка теоремы.
Доказательств теоремы Пифагора очень много. Мы рассмотрим сегодня два из них. С моей точки зрения эти доказательства одно лучше другого.
Для начала разберёмся, что у нас есть по условию теоремы.
Прямоугольный треугольник АВС. Напротив угла А — сторона a, напротив угла В — сторона b, напротив угла С, уточняю — прямого угла, — сторона c, то есть гипотенуза. Вершины треугольника в доказательстве не потребуют, нам будут нужны стороны.
Первое доказательство.
Оно основывается на теореме косинусов, поэтому вспомним её. Возьмём произвольный треугольник. Обозначим стороны треугольника d, m, n. Угол напротив стороны d обозначим ẟ (дельта).
Формулировка теоремы косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
Запишем для нашего треугольника:
Вернёмся к прямоугольному треугольнику АВС и запишем это равенство для гипотенузы, причём сразу обозначим прямой угол как 90о:
Однако Cos90о=0. Значит, и все выражение удвоенное произведение на косинус угла равно 0.
Таким образом, от нашего равенства остается
Теорема доказана.
Теорему Пифагора можно рассматривать как частный случай теоремы косинусов. Это очень хорошее, простое доказательство, очень быстрое. Однако для школьников восьмого класса, которые еще не изучали теорему косинусов, увы, оно не подходит. Поэтому рассмотрим другое доказательство.
Возьмем наш прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c и достроим его до большого квадрата.
Обратите внимание, что наш большой квадрат состоит из четырех треугольников и маленького квадрата. Чтобы это было очевидно, маленький квадрат закрасим другим цветом.
Найдем площадь этого большого квадрата.
Мы знаем, что площадь квадрата равна квадрату его стороны. У нас сторона — это а+b. Значит, площадь нашего большого квадрата:
Ещё площадь квадрата можно найти сложив площади фигур, из которых он состоит, то есть 4-ёх треугольников и маленького квадрата в центре.
Площадь прямоугольного треугольника находим по формуле
Площадь маленького квадрата
Подставим это значение в формулу большого квадрата.
Выполнив небольшие преобразования, получим:
Мы нашли площадь квадрата разными способами. Но ведь его площадь неизменна, и значит два этих выражения будут равны друг другу. Приравняем эти два выражения друг к другу.
Раскроем квадрат суммы с левой стороны. Видим, что у нас и справа, и слева есть одинаковое слагаемое 2аb.
Значит, можем его вычесть и справа, и слева. В результате получим:
Что нам и требовалось доказать.