Простой процент. Наращение и дисконтирование

Что такое процент?

Процентом называется сотая доля числа, обозначается символом %

В экономике так же используется тысячная доля – промилле, ‰

Основных типов задач на проценты всего три:

1. Нахождение процентов от заданного числа

b=a*p/100

2. Нахождение числа по его процентам

Если p% некоторого числа составляет b, то это число

a=b/p*100

3. Нахождение процентного отношения двух чисел

p=a/b*100

Формула простого процента

Qt=Qo(1+t*p/100)=Qo(1+i*t)

где i=p/100 – ставка наращения

Дисконтирование

задача, обратная наращению первоначальной суммы. Дисконтирование позволяет находить первоначальную сумму Qo, которую нужно положить в банк для получения Qt. Величину Qo так же называют современной суммой.

Метод дисконтирования помогает учитывать инфляцию при оценке инвестиционных решений.

Для простых процентов

Qo=Qt/(1+i*t)=Qt*(1+i*t)^-1

Пример 1

Допустим, компания переходит с упрощёнки 6% от доходов на ОСН НДС 22%. На сколько процентов увеличится цена товара за счёт налога?

Пусть стоимость товара до начисления налога равна S.

Цена товара при УСН 6% составит S+0.06S=1.06S

Цена товара с НДС составит S+0.22S=1.22S

∆=1.22/1.06-1=0.1509=15.09%

Стоит отметить что условия задачи не учитывают страховые взносы с заработной платы сотрудников, налог на прибыль и прочее. Поэтому модель расчёта изменения цены, учитывающая только один фактор является неполной.

Пример 2

Благодаря организационным мероприятиям производительность на предприятии за смену выросла на 5%, из-за морозов расход тепловой энергии за смену увеличился на 30%. Тариф на тепло вырос на 15%. На сколько процентов изменились затраты на единицу продукции?

Пусть первоначально производительность за смену составляла a– единиц, расход тепла b – единиц, тариф на тепло – с -единиц.

Тогда затраты на единицу продукции S=cb/a (руб)

После орг. мероприятий a'=1.05a, b'=1.3b, c'=1.15c

S'=c'b'/a'=(1.15c)(1.3b)/1.05a=1.4S

Таким образом, расходы на единицу продукции увеличились на 40%.

Пример 3

Предприятие привлекло кредитные средства на сумму 10 млн. руб. на 5 лет под 19% годовых.

Найти сумму долга с процентами, которую необходимо возвратить банку. И размер переплаты по кредиту.

Расчёты провести с помощью простого процента.

Q5=10*(1+0,19*5)=19.5 млн.

Размер переплаты 19,5 млн-10 млн=9,5 млн.

Рентабельность капитала на проекте должна быть выше 48.72% (9,5/19,5).

Пример 4

Через 4 года вкладчик получит 8 млн. руб. Определите первоначальную сумму, если ставка по вкладу составляет 14% годовых.

Qo=8/(1+4*0,14)=5,128 млн. руб.

Пример 5

У вкладчика есть 10 млн. руб. Его потребительская инфляция составляет 15% в год. Какую часть стоимости денег вкладчик потеряет за 2 года, если не воспользуется предложением открыть вклад под проценты.

Qo=10/(1+2*0,15)=7,69 млн. руб.

7,69/10-1=-23,07% Таким образом, покупательная способность денег за 2 года уменьшится на 23,07%

Источники:

Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики : учеб.-справ. пособие / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин ; под общ. ред. Н.Ш. Кремера