Понятие определённого интеграла
Понятие интеграла появилось из-за практической потребности решения задач измерения площади, объема, массы и других величин. Термин «интеграл» впервые введен Г.В. Лейбницем в конце XVII века, дальнейшее развитие теории связано с именами И.Ньютона, Ж.Лагранжа, О.Коши, Б.Римана и др.
Определение определённого интеграла
Интегральную сумму записываем как:
Геометрический смысл определённого интеграла
Определенный интеграл представляет собой площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс (горизонтальная ось ОХ) и прямыми линями, параллельными оси ординат (вертикальной оси ОУ)
Эту фигуру называют криволинейной трапецией
А ее площадь определяют выражением вида
Основные свойства определённого интеграла
Аддитивность: Это свойство означает, что если отрезок интегрирования разбить на части некоторой точкой, то интеграл по всему отрезку будет равен сумме интегралов по его частям
Линейность: Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а также интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
Изменение пределов интегрирования: Изменяя порядок пределов интегрирования, меняем знак интеграла на противоположный:
Формула Ньютона—Лейбница
Чтобы найти численное значение определённого интеграла, используют следующую теорему: Если некоторая функция интегрируема на заданном отрезке и имеет непрерывную первообразную, то:
где F(x) - первообразная функции f(x).
Таблицу первообразных можно посмотреть здесь.
Некоторые методы вычисления определённых интегралов
- Непосредственное интегрирование элементарных выражений с использованием табличных интегралов (первообразных)
- Замена переменных
- Интегрирование по частям
Применение определённого интеграла
- Нахождение площади плоской фигуры
- Объём тел вращения
- Длина дуги плоской кривой
- Физическое приложение - например, расчёт работы переменной силы
Таким образом, мы рассмотрели понятие определенного интеграла, его основные свойства, методы вычисления и некоторые приложения в математике и физике. Это важнейший инструмент математического анализа, позволяющий решить широкий спектр реальных задач.