Этот материал для одиннадцатиклассников, которые готовятся к ЕГЭ по математике (база, профиль) и хотят быстро повторить тему корней без лишней теории.
Корни встречаются почти в каждом блоке экзамена. Ошибки чаще всего не в вычислениях, а в невнимательности: забыли подкоренное, перепутали знак, неправильно использовали свойства. Несколько минут повторения могут спасти баллы.
Чаще всего задания про корни:
База: №1, №3 — упрощение, вычисление
Профиль: №1, №3, №7, №11 — упрощение, сравнение, показательные уравнения
Формулировки «в стиле ЕГЭ»:
«Упростите выражение…»
«Найдите значение выражения…»
«Сравните числа…»
Чтобы посмотреть структуру заданий и прорешать типовые примеры, смотри:
👉 ЕГЭ по математике 2026. Демонстрационный вариант с ответами (базовый уровень)
👉 ЕГЭ по математике 2026. Демонстрационный вариант с ответами (Профильный уровень)
Что такое корень?
Квадратный √a — число, которое в квадрате даёт a. То есть, если x² = a, то x = √a.
Пример: √16 = 4, потому что 4² = 16
⚠️ Для чётного корня подкоренное ≥ 0, иначе действительных решений нет
Кубический ∛a — число, которое в кубе равно a. Если x³ = a, то x = ∛a
Пример: ∛27 = 3, потому что 3³ = 27
Кубический корень может быть отрицательным: ∛(-8) = -2, потому что (-2)³ = -8
Связь с дробными степенями: любой корень можно записать через степень с дробным показателем:
a^(1/n) = ⁿ√a
Квадратный: √a = a^(1/2)
Кубический: ∛a = a^(1/3)
✏️ Примеры:
√16 = 16^(1/2) = 4
∛27 = 27^(1/3) = 3
8^(1/3) = ∛8 = 2
✅ Корень — «обратная операция» к возведению в степень. Если число возвести в степень n, а потом извлечь n-й корень, получится исходное число: (ⁿ√a)ⁿ = a
Чётность
Чётная √[n]{a}
- Определена только при a ≥ 0 — отрицательные числа недопустимы.
- Результат всегда ≥ 0 — это «главная ветка» извлечения.
- Формула:
√xⁿ) = |x| - Логика: возведение числа в чётную степень «стерилизует» знак, поэтому при извлечении возвращаем модуль числа.
Нечётная √[n]{a}
- Определена для любых a (отрицательные включительно).
- Знак сохраняется — отрицательное число под знаком степени остаётся отрицательным после извлечения.
- Формула:
∛(x³) = x - Логика: нечётная степень сохраняет знак числа, поэтому возвращаем исходное значение без модуля.
✅ Математическая строгость этих правил — ключ к избеганию самых частых ловушек на ЕГЭ.
Почему важно для ЕГЭ
- Чётные степени — всегда проверяем подкоренное выражение.
- Нечётные степени — можно работать с любыми числами, что ускоряет решение уравнений и упрощение выражений.
- Формулы с модулем и без него помогают быстро распознавать, когда появляются дополнительные решения или ограничения.
База: главные свойства корней
1️⃣ √(a·b) = √a · √b
Смысл: произведение под знаком извлечения степени можно разнести на отдельные множители, если a ≥ 0, b ≥ 0.
Логика: извлечение степени «разбирает» повторяющиеся множители.
Пример: √(4·9) = √4 · √9 = 2 · 3 = 6
⚠️ Ловушка: если одно число отрицательное, правило не работает:
√(-4·9) ≠ √(-4) · √9
2️⃣ √(a/b) = √a / √b
Смысл: дробь под знаком степени = дробь из извлечённых числителя и знаменателя, при a ≥ 0, b > 0.
Логика: деление «разносится» по извлечению только при положительных подкоренных.
Пример: √(16/25) = √16 / √25 = 4 / 5
⚠️ Знаменатель ≠ 0.
3️⃣ (√a)² = a
Смысл: возведение в квадрат возвращает исходное число.
Логика: операция обратна извлечению.
Пример: (√7)² = 7
✅ Работает всегда, ОДЗ нужно учитывать только для исходного выражения: a ≥ 0.
4️⃣ ⁿ√(a^m) = a^(m/n)
Смысл: n-я степень под знаком извлечения = дробная степень числа.
Логика: показатель m делится на n при переходе к степенной форме.
Пример: 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4
⚠️ Если n чётное, подкоренное ≥ 0.
5️⃣ √a + √b ≠ √(a+b)
Смысл: сумма/разность под знаком извлечения не разносится.
Логика: операция «разбирает» множители, а не сложение.
Пример:
√9 + √16 = 3 + 4 = 7
√(9+16) = √25 = 5
⚠️ Ловушка на ЕГЭ: нельзя упрощать сумму напрямую.
Особые случаи
1ⁿ = 1
a¹ = a
0ⁿ = 0 (n > 0)
⚠️ 0⁰ не рассматривается
⚠️ Делить на 0 нельзя
Отрицательные подкоренные выражения
(-2)³ = -8
(-2)⁴ = 16
⚠️ Скобки важны: -2⁴ = -16, (-2)⁴ = 16
Монотонность для сравнения
Если a > 1 → m > n ⇒ aᵐ > aⁿ
Если 0 < a < 1 → m > n ⇒ aᵐ < aⁿ
Пример: 2^0,5 > 2^0,3, 0,5^3 < 0,5²
Как решать на экзамене
1️⃣ Проверить подкоренное выражение
2️⃣ Привести к дробной степени (если удобно)
3️⃣ Использовать свойства произведения, деления
4️⃣ Привести подобные выражения
5️⃣ Проверить допустимые значения ⚠️
6️⃣ Уравнение — приравнять показатели, учесть ограничения
Типовые задания
1. Упрощение
Упростите: √(9·16) / √4
√(9·16) = √9·√16 = 3·4 = 12
12 / √4 = 12 / 2 = 6
2. Сравнение
Сравните √8 и 2^(3/2)
√8 = 2√2 ≈ 2,828
2^(3/2) = 2√2 ≈ 2,828
Числа равны
3. Уравнение
√(x+3) = 5
x + 3 = 25 → x = 22
4. Приведение к одному основанию
∛(8x) = 4
(8x)^(1/3) = 4 → 8x = 64 → x = 8
👉 Чтобы разобрать все темы, смотри материал: Шпаргалка для ЕГЭ по математике профильный уровень 2026: полный гид для успешной подготовки
💡 Техники запоминания: мнемоника «КОРНИ на ЕГЭ»
К — Квадрат и чётность
- √(x²) = |x|, результат ≥ 0
- Чётные степени → подкоренное ≥ 0
- Нечётные степени → знак сохраняется
О — ОДЗ всегда проверяй
- Подкоренное ≥ 0 для чётных
- Знаменатель ≠ 0
- Проверяем ОДЗ при уравнениях и неравенствах
Р — Разложение произведения/дроби
- √(a·b) = √a·√b, если a ≥ 0, b ≥ 0
- √(a/b) = √a/√b, если a ≥ 0, b > 0
Н — Нельзя складывать/вычитать под знаком
- √(a + b) ≠ √a + √b
- √(a - b) → следим за знаком подкоренного
И — Из дробной степени легко перейти к корню и обратно
- a^(m/n) = ⁿ√(a^m)
- √a = a^(1/2), ∛a = a^(1/3)
- Помогает упростить выражения и сравнить числа
⚡ Шпаргалка «на пальцах»
- Чётная степень → результат ≥ 0, модуль если нужно
- Нечётная степень → знак сохраняется
- Произведение/дробь → разносить только при положительных подкоренных
- Сумма/разность → не разносить!
- Дробная степень = корень → удобно для упрощения и сравнения
💭 Ассоциация: «Корень — как коробка: что внутри, то достаём наружу, но проверяем, разрешено ли по ОДЗ»
✏️ Проверь себя
- √49 = ?
- ∛125 = ?
- Упростите √(4·9)
- Сравните √8 и 2^(3/2)
Ответы: 7, 5, 6, числа равны
Большинство ошибок — невнимательность к подкоренному выражению, скобкам или знакам. Освоив 5–7 правил, тема «закрыта». 💪