Степени — регулярный гость экзамена. Баллы теряются не на «сложности», а на мелочах: забыли свойство, перепутали знак, не поставили скобки.
Ниже — компактная система, ориентированная прямо на формат ЕГЭ.
Чаще всего тема встречается:
- в упрощении выражений;
- при сравнении чисел;
- в показательных уравнениях;
- в заданиях с корнями, логарифмами.
База: №1, №3 — вычисления, сравнение, простые преобразования.
Профиль: №1, №3, №7, №11 — упрощение выражений, сравнение, логарифмы, показательные уравнения.
Формулировки в стиле экзамена:
«Упростите выражение…»
«Найдите значение выражения…»
«Решите уравнение…»
«Сравните числа…»
⚡ Если видишь степень — почти всегда нужно работать с показателями, а не с основаниями.
База: главные свойства
1️⃣ aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Что происходит: одинаковые основания перемножаются — количество множителей увеличивается.
Если 2³ — это три двойки, а 2² — ещё две двойки, то вместе их уже пять:
2³ · 2² = 2⁵.
✅ При умножении показатели складываются, потому что мы объединяем одинаковые множители.
2️⃣ aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0)
Что происходит: при делении одинаковые множители сокращаются.
Пример:
5⁶ / 5² = 5⁴ — две пятёрки «ушли», осталось четыре.
⚠️ Основание не может быть равно нулю — делить на 0 нельзя.
✅ Делим — вычитаем показатели.
3️⃣ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Что происходит: степень возводится в степень — множители повторяются n раз.
(2³)² означает:
(2·2·2) · (2·2·2) = 2⁶.
Мы фактически повторили тройку дважды → 3·2 = 6.
✅ Скобка — перемножай показатели.
4️⃣ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
Что происходит: произведение возводится в степень — каждый множитель возводится отдельно.
(2·3)² = 2²·3².
Это удобно при разложении числа на простые множители.
⚠️ Работает только для произведения.
5️⃣ (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Что происходит: степень «распределяется» по числителю и знаменателю.
(4/5)³ = 4³ / 5³.
⚠️ Знаменатель не должен быть равен нулю.
6️⃣ a⁰ = 1 (a ≠ 0)
Почему так: используем правило деления.
a³ / a³ = a⁰,
но любое число, делённое само на себя, равно 1.
Значит, a⁰ = 1.
⚠️ 0⁰ не рассматривается.
✅ Нулевая степень — «магическая единица».
7️⃣ a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Что происходит: отрицательная степень появляется при вычитании показателей.
Например:
a² / a⁵ = a⁻³.
Чтобы избавиться от минуса, переносим степень в знаменатель:
a⁻³ = 1/a³.
✅ Минус в показателе — число уходит вниз дроби.
Особые случаи
1ⁿ = 1
a¹ = a
0ⁿ = 0 (при n > 0)
⚠️ 0 в нулевой степени не рассматривается.
⚠️ Делить на 0 нельзя — выражение теряет смысл.
Отрицательное основание
(-2)³ = -8
(-2)⁴ = 16
Чётная степень даёт плюс, нечётная — минус.
⚠️ Скобки важны:
-2⁴ = -(2⁴) = -16
(-2)⁴ = 16
Это разные результаты.
Дробные показатели
a^(m/n) = √n = (√[n]a)^m
Пример:
8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4.
⚠️ Если корень чётный, подкоренное выражение ≥ 0.
Пример с переменной:
√(x² − 4) имеет смысл, если x² − 4 ≥ 0.
✏️ Найди область допустимых значений.
Монотонность — ключ к сравнению
Если a > 1:
m > n ⇒ aᵐ > aⁿ.
Если 0 < a < 1:
m > n ⇒ aᵐ < aⁿ (знак меняется).
Пример:
2^0,5 > 2^0,3 (основание больше 1).
0,5^3 < 0,5² (основание между 0 и 1).
⚡ Это правило часто спасает в задании №3 профиля.
Типовые задания
1. Длинное упрощение
Упростите:
(2³ · 2⁻⁴ · 4²) / 2⁵
4² = (2²)² = 2⁴
Получаем:
2^(3−4+4−5) = 2⁻² = 1/4.
⚠️ Всё сводим к одному основанию.
2. Сравнение
Сравните 5⁻² и 1/25.
5⁻² = 1/5² = 1/25.
Числа равны.
3. Показательное уравнение
3^(2x−1) = 9
9 = 3²
Основания равны ⇒
2x − 1 = 2
2x = 3
x = 1,5.
4. Сначала привести к одному основанию
2^(x+1) = 8
8 = 2³
x + 1 = 3
x = 2.
Неравенства
2^x > 2³
Основание больше 1 ⇒
x > 3.
0,5^x > 0,5²
Основание между 0 и 1 ⇒
x < 2.
⚠️ Многие забывают поменять знак.
Чтобы посмотреть структуру заданий и прорешать типовые примеры, смотри:
👉ЕГЭ по математике 2026. Демонстрационный вариант с ответами (базовый уровень)
👉ЕГЭ по математике 2026. Демонстрационный вариант с ответами (Профильный уровень)
Как действовать на экзамене
- Привести к одному основанию.
- Упростить показатели.
- Убрать отрицательные степени.
- Проверить ограничения.
- Если уравнение — приравнять показатели.
- В неравенстве учесть монотонность.
Если видишь показатель в обеих частях — почти всегда можно сравнивать именно их.
Как запомнить быстро
✅ «Минус — переверни дробь».
✅ «Скобка — умножай показатели».
✅ «Основание >1 — знак сохраняется».
✅ «Основание между 0 и 1 — знак меняется».
🔑 Мемоника «МультиСтепень»
1️⃣ Умножение → складываем:
"Множители дружно встают в очередь — показатели растут"
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ✅
2️⃣ Деление → вычитаем:
"Отнимаем лишние, оставляем только нужные"
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ⚠️
3️⃣ Степень степени → умножаем:
"Скобка зовёт: повтори показателя столько раз, сколько внутри"
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ✅
4️⃣ Произведение → степень каждой части:
"Вместе в степень — каждый отдельно"
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
5️⃣ Дробь → степень числителя и знаменателя:
"Числитель и знаменатель в одинаковую степень"
(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ ⚠️
6️⃣ Нулевая степень → единица:
"Любое ненулевое число в ноль — волшебство 1"
a⁰ = 1 ✅
7️⃣ Отрицательная → переверни дробь:
"Минус в показателе — число спускается вниз"
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ ✅
8️⃣ Монотонность для сравнения:
- a > 1 → показатель больше — число больше
- 0 < a < 1 → знак меняется
💡 Лёгкая фраза для запоминания:
«Умножаем — складываем, делим — вычитаем, скобка — умножаем, минус вниз, ноль — единица»
Эта фраза охватывает 90% формул по степеням для ЕГЭ и поможет быстро восстановить знания прямо перед экзаменом.
✏️ Проверь себя
- (-3)⁴ = ?
- 2^(−3) · 2⁵ = ?
- 4^(x−1) = 16
- 0,2^x > 0,2³ — какое неравенство для x?
Ответы:
- 81
- 2² = 4
- x − 1 = 2 ⇒ x = 3
- x < 3
Тема компактная: семь базовых свойств, монотонность, аккуратность со знаками. ⚠️ Большинство ошибок — это невнимательность к показателям или скобкам.
Перед экзаменом достаточно пройтись по этим блокам. Несколько минут повторения способны сохранить нужные баллы 💪