Этот материал для тех, кто готовится к ЕГЭ по математике (база и профиль) и хочет системно закрыть тему дробей — от простых вычислений до рациональных уравнений. Если баллы теряются на длинных выражениях или заданиях с переменными, ниже — чёткая схема подготовки.
Дроби критичны в формате ЕГЭ:
- База: №1, №3 — «Вычислите», «Найдите значение выражения».
- Профиль: №1, №3, №7, №11 — длинные выражения, рациональные уравнения, преобразования.
Типичные формулировки:
— «Вычислите значение выражения…»
— «Найдите значение выражения при x = …»
— «Решите уравнение…»
Разберём всё по порядку — от видов дробей до экзаменационного алгоритма.
📚 Главное о дробях — коротко
Дробь — это число вида a/b, где: числитель — сверху, знаменатель — снизу. Знаменатель не равен нулю.
Основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число (≠0), значение не меняется. Это основа сокращения.
Виды дробей:
Обыкновенные дроби:
a/b, где знаменатель ≠ 0.
Неправильные дроби:
Числитель больше знаменателя: 7/4.
👉 Чтобы узнать больше, смотри материал: Обыкновенные дроби: что это и как с ними подружиться
Смешанные числа:
1(целое) 3/4.
Перевод:
1 3/4 = (1×4+3)/4 = 7/4.
⚠️ Ловушка: забывают умножить целую часть на знаменатель.
Десятичные дроби:
0,25 = 25/100 = 1/4.
0,4 = 4/10 = 2/5.
Часто помогает перевести десятичную дробь в обыкновенную — вычисления становятся проще.
Рациональные дроби (с переменными):
(x−2)(x+3)/x−2
Сначала ОДЗ: x ≠ 2.
Сокращаем (x−2).
Получаем x+3, но при x ≠ 2.
⚠️ Ловушка: сокращают без указания ограничения.
Сокращение
Дробь сокращают, деля обе части на общий делитель.
⚠️ Ловушка: сокращают только часть выражения.
Сокращать можно множители, а не слагаемые.
✅ Как запомнить: видишь произведение — ищи, что можно сократить. Видишь сумму — не трогай.
Приведение к общему знаменателю
Чтобы сложить или вычесть дроби, нужен общий знаменатель.
Алгоритм:
- Найти общий знаменатель.
- Домножить числители.
- Сложить числители.
⚠️ Ловушка: складывают отдельно числители и знаменатели. Так делать нельзя.
Умножение дробей
Числитель × числитель.
Знаменатель × знаменатель.
Лучше сокращать до перемножения — числа будут меньше.
✅ Как запомнить: сначала сокращай — потом умножай.
Деление дробей
Деление на дробь заменяется умножением на обратную.
Переверни вторую дробь → умножь.
⚠️ Ловушка: забывают перевернуть.
✅ Фраза-подсказка: «Делишь — переверни».
Минус в дробях
Минус может стоять:
— перед всей дробью
— в числителе
— в знаменателе
Все варианты равны.
Лучше переносить знак в числитель — так проще контролировать решение.
👉 Чтобы разобрать все темы и понять структуру экзамена, смотри материал: Шпаргалка для ЕГЭ по математике профильный уровень 2026: полный гид для успешной подготовки
Как действовать на экзамене 🎯
Держи рабочий алгоритм:
- Упростить выражение.
- Проверить, нет ли запрета на знаменатель (если есть переменные).
- Сократить всё возможное.
- Следить за знаками.
- Перепроверить итог.
✏️ Перед тем как записать ответ, проверь:
- всё ли сокращено;
- не «потерян» ли минус;
- правильно ли найден общий знаменатель;
- нет ли нуля в знаменателе;
- получилась ли несократимая дробь.
30 секунд проверки часто спасают балл.
⚠️ Частые ошибки
- Складывают дроби «по частям»:
a/b + c/d = (a+c)/(b+d) — неверно. - Не учитывают область допустимых значений.
- Делят на дробь без переворота.
- Раскрывают скобки без изменения знака.
- Не сокращают ответ до конца.
- Получают отрицательный знаменатель — оставляют так.
Правило: итог должен выглядеть аккуратно. Проверяющий видит ход мысли.
Чтобы прорешать типовые примеры, смотри материал:
👉 ЕГЭ по математике 2026. Демонстрационный вариант с ответами (базовый уровень)
👉 ЕГЭ по математике 2026. Демонстрационный вариант с ответами (Профильный уровень)
🧠 Техники запоминания
1. Правило трёх шагов
Сократи → приведи → считай.
2. Деление
«Переверни — умножь — сократи».
3. Общий знаменатель
Сначала думай о знаменателе, потом о числителе.
4. Минус
Лучше один минус сверху, чем спрятанный снизу.
Мини-практика ✏️
Пример в формате ЕГЭ (база)
Вычислите значение выражения:
5/6 − 1/4 + 3/8
Общий знаменатель — 24.
5/6 = 20/24
1/4 = 6/24
3/8 = 9/24
20 − 6 + 9 = 23
Ответ: 23/24.
Пример уровня профиль
Найдите значение выражения при x = 3:
2/(x − 1) − 3/(x + 2)
ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ −2.
3 допустимо.
Подставляем:
2/(3 − 1) − 3/(3 + 2)
2/2 − 3/5
1 − 3/5
2/5
Ответ: 2/5.
Более сложный пример
Вычислите:
(3/x − 2/(x + 1)) · x(x + 1)/5
ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ −1.
Приводим к общему знаменателю:
3(x + 1) − 2x
————————————
x(x + 1)
3x + 3 − 2x = x + 3.
Получаем:
(x + 3) / (x(x + 1)) · x(x + 1)/5
Сокращаем x(x + 1).
Ответ: (x + 3)/5, при x ≠ 0, −1.
Уравнение с дробями (профиль)
Решите уравнение:
2/x = 3/(x + 1)
ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ −1.
Перемножаем крест-накрест:
2(x + 1) = 3x
2x + 2 = 3x
x = 2
Проверяем ОДЗ — подходит.
Ответ: 2.
⚠️ Если знаменатель мог обратиться в ноль, проверка обязательна — иначе можно потерять корень.
❗Что важно понять
Большинство ошибок — не из-за сложности темы, а из-за спешки. Дроби — это механика. Когда есть чёткий порядок действий, паника исчезает.
Сохрани алгоритм, повтори правила, прорешай несколько примеров — тема станет управляемой. На экзамене это даст спокойствие, а спокойствие даёт баллы.