Внешний угол треугольника
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вспомнить свойство внешнего угла треугольника на примере решения задачи 232 из 9-го издания учебника по геометрии для 7-9 классов авторов Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняк и И. И. Юдиной под научным руководством академика А. Н Тихонова.
Условие задачи:
Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом.
Решение:
Рассмотрим треугольник ABC с основанием AC. Прилежащие к основанию углы 2 и 3 равны.
В главе II §2 п.18 учебника на странице 34 даётся теорема:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство этой теоремы приводить не будем — это уже сделали авторы учебника. Нам важно, что углы 2 и 3 треугольника ABC равны.
Теперь продолжим прямую AB до точки D.
Угол 4 — внешний угол треугольника, который смежный с углом 1.
В главе IV §1 п.31 учебника на странице 70 даётся теорема:
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
Доказательство этой теоремы приводить не будем — это уже сделали авторы учебника на основании того, что развёрнутый угол равен 180°, и сумма углов треугольника тоже равна 180° (глава IV §1 п.31 учебника на страницах 70 и 71). Нам важно, что величина угла 4 равна сумме углов 2 и 3.
Но ∠2 = ∠3, поэтому
Как видите, внешний угол 4 (∠CBD) в два раза больше не смежного с ним угла 2 (как и угла 3).
Утверждение верно, но только в том случае, если смежный с внешним углом угол равнобедренного треугольника лежит напротив основания.