Рассмотрим решение задачи, которая на канале Валерия Казакова дана под заголовком Самая трудная задача на трапецию! Лучше сдайся. Итак, задача.
1. В равнобедренную трапецию ABCD, AB = CD, вписана окружность. Она касается сторон AB, BC, AD трапеции в точках K, M, N соответственно. Отрезки AM и KN пересекаются в точке P, KP = 2, PN = 8. Найдите площадь треугольника APN.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Самая трудная задача на трапецию! Лучше сдайся | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/699ed7f1c96e4e5333e708d2
Задача не так трудна, как кажется. Её можно решить с использованием меньшего числа геометрических фактов, повторив начальную часть решения.
Решение. Проведём отрезок KM. Вписанный угол MKN – прямой, так как опирается на диаметр окружности.
Проведём отрезок AO, где O – центр окружности. AK = AN по свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, AO – биссектриса угла A трапеции, поэтому по свойству равнобедренного треугольника AO и KN перпендикулярны и отрезок KN делится точкой пересечения F пополам,
KF = FN = (2 + 8 ) : 2 = 5. Обозначим FO = x, тогда по свойству средней линии треугольника из равенств KF = FN и MO = ON следует, что KM = 2x.
Треугольники KMP и FAP подобны по двум углам (углы при вершине P вертикальные, углы K и F – прямые). Из подобия треугольников следует, что AF = 3x.
Упрощение решения заключается в том, что мы не находили величин углов, не доказывали, что треугольник AKN равносторонний и для получения ответа не находили 0,8 его площади.